窗口到视区（viewport）的转换 —实例推导
（VXR，VYT） （WXR，WYT） （Xv，Yv）
（Xw，Yw）
（WXL，WYB）
（VXL，VYB）
窗口区定义为（WXL，WXR，WYB，WYT），
视区定义为（ VXL，VXR，VYB，VYT ）
根据相似性原理，得出计算公式：
xw WXL xV VXL WXR WXL VXR VXL Yw WYB yV VYB WYT WYB VYT VYB
4.设备坐标系
（左手法则）
显示器以分辨率确定坐标单位， 原点在左下角或左上角。
如屏幕坐标系： 在显示器上指定窗口和视区，必须进行由NDC到物理设备坐标变 换。
5.规格化设备坐标系（NDC）
• 为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟设备 的方法来处理，其结果是按照一种虚拟设备的坐标规定来输出 的。这种设备坐标规定为0≤X≤1，0≤Y≤1，这种坐标系称之 为规格化设备坐标系。 • 在世界坐标系（WC）与设备坐标系（DC）之间定义的一个与设 备无关的规格化设备坐标系（按左手法则）。取值范围： （0.0，0.0，0.0）~（1.0，1.0，1.0）
计算机图形学基础
第4章 二维变换
本章主要内容
• 窗口与视区
– 坐标系、窗口与视区
• 图形变换的数学基础 • 二维几何变换
– 基本变换、复合（组合）变换
• 二维图形的生成程序实现
目前为止，掌握的基本技能
• 基本绘图函数的使用：
– pDC->SetPixel – Cpen类（线型与线宽的设置）等
• • • • •
4.2 图形变换的数学基础
• 矢量运算 • 行列式 • 矩阵
特别注意： 矩阵相乘不适合交换律
• 矩阵运算
• 单位矩阵 • 逆矩阵 • 转置矩阵
上机编程：实现矩阵的输入与输出； 实现两个矩阵相乘。
变换的数学基础(1/4)
• 矢量
u x U u y u z
vx V v y vz
• 例5-1：
设窗口区为window(0.0，1.0，0.0，1.0) （已规格化） ， 视图区为viewport（100，400，100，400），有用户 坐标点Xw,Yw为（0.5，0.3），求其对应的屏幕坐标 Xv,Yv。 解题步骤： （1）绘制其坐标示意图； （2）写出（推导）计算公式； （3）算出对应坐标值。
• 性质
U V V U U V 0 U V U U 0 U 0
变换的数学基础(3/4)
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 2 U U U ux u y uz 2
U V cos q U V
– 矢量的叉积
i U V ux vx
j uy vy
k uz vz
变换的数学基础(4/4)
• 矩阵 – m n
– – – – – – – – –
阶矩阵
n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆
4.3 二维基本几何变换
• 点的变换：
– – – – – – 恒等变换 平移变换 比例变换 旋转变换 对称变换 错切变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系）
• 物体的局部坐标系，物体的表示简单。
世界坐标系xoy
模型坐标系x’o’y’
3.用户坐标系(UCS) ：
• 为了方便交互绘图操作，根据用户的观察需要而设定的坐标， 可以变换角度、方向等。
直线、圆生成算法的实现 多边形扫描转换与填充 颜色的改变，线型与线宽的设置 简单平面图形的设计 **简单动画设计
例如
• 奥运五环绘制与填充； • 字符的绘制与填充；
图形变换述
• 图形变换是计算机图形学的基础内 容。 • 作用：
1. 二维图形的生成 2. 复杂的图形的生成（由简单图形变换） 3. 三维物体的二维表示
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
“取景器”=窗 口
视区1 视区2 （viewport）
4.1 坐标系、窗口与视区（续）
4.1.4规格化变换 从窗口到视区的变换，称为规格化变换。 (Normalization Transformation) y wyT wyB o wxL wxR x y W(窗口区) (wx,wy) vyB o vx L vxR vyT (vx,vy) x V(视图区)
– 矢量和
u x vx U V u v y y u z vz
变换的数学基础(2/4)
– 矢量的数乘
kux k U ku y kuz
– 矢量的点积
U V u x vx u y v y u z vz
• 包括：
• •
1. 二维、三维图形的平移、旋转、变比、对称等变换； 2. 级联（复合）变换
——相对于某点的比例变换、旋转变换 ——相对于某直线的对称变换
图形变换概述
包括： --几何变换：改变几何形状和位置 --非几何变换：改变图形的颜色、线型等属性
基本几何变换(二维、三维)
几何变换
投影变换（三维）
坐标变换
用户域
窗口区
4.1.2坐标的转换
用户Y
用户坐标
观察坐标
（X0, Y0）
0
用户X
观察坐标到用户坐标的变换矩阵（写出）：
将观察坐标原点平移；旋转观察坐标与用户坐标重叠
4.1 坐标系、窗口与视区（续） 4.1.3什么是窗口、视区？
1. 窗口
–
在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， 用来指定要显示的图形 。
平行投影 透视投影
二维变换举例
旋转变换
y
(x’, y’) 对称变换
q
( x, y)
f
x
平行投影变换：三视图、轴测图
透视变换：透视图
二维图形的显示流程图
4.1 坐标系、窗口与视区
• 4.1.1坐标系：建立了图形与数之间的对应联系。 1.世界坐标系(World Coordinate System)