1黄金分割法的优化问题
(1)黄金分割法基本思路:
黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单股函数求极小值问题,对函数除要求“单谷”外不做其他要求,甚至可以不连续。
因此,这种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜索区间[a,b]内适当插入两点a1,a2,并计算其函数值。
a1,a2将区间分成三段,应用函数的单谷性质,通过函数值大小的比较,删去其中一段,是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去,是搜索区间无限缩小,从而得到极小点的数值近似解。
(2)黄金分割法的基本原理
一维搜索是解函数极小值的方法之一,其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多,这里主要采用黄金分割法(0.618法)。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率,从而可以看成是斐波那契法的近似,实现起来比较容易,也易于人们所接受。
黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。
它是优化计算中的经典算法,以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称,是许多优化算法的基础,但它只适用于一维区间上的凸函数[6],即只在单峰区间内才能进行一维寻优,其收敛效率较低。
其基本原理是:依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。
具体步骤是:在区间[a,b]内取点:a1 ,a2 把[a,b]分为三段。
如果f(a1)>f(a2),令
a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a);如果f(a1)<f(a2) ,令b=a2,
a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果|(b-a)/b|和|(y1-y2)/y2|都大于收
敛精度ε重新开始。
因为[a,b]为单峰区间,这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍,处理后的区间都将包含极小点的区间缩小,然后在保留下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去,将使搜索区[a,b]逐步缩小,直到满足预先给定的精度时,即获得一维优化问题的近似最优解。
黄金分割法原理如图1所示,
(3)程序流程如下:
4 实验所编程序框图
#include 《math.h》
#include 《stdio.h》
#define f(x) x*x+2*x
double calc(double *a,double *b,double e,int *n) { double x1,x2,s;
if(fabs(*b-*a)<=e)
s=f((*b+*a)/2);
else
{ x1=*b-0.618*(*b-*a);
x2=*a+0.618*(*b-*a);
if(f(x1)>f(x2))
*a=x1;
else
*b=x2;
*n=*n+1;
s=calc(a,b,e,n);
}
return s;
}
main()
{ double s,a,b,e;
int n=0;
scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&e); s=calc(&a,&b,e,&n);
printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%d\n",a,b,s,n); }
5 程序运行结果如下图:
2进退法
(1)算法原理
进退法是用来确定搜索区间(包含极小值点的区间)的算法,其理论依据是:()f x 为单谷函数(只有一个极值点),且[,]a b 为其极小值点的一个搜索区间,对于任意
12,[,]x x a b ∈,如果()()12f x f x <,则2[,]a x 为极小值的搜索区间,如果()()12f x f x >,
则1[,]x b 为极小值的搜索区间。
因此,在给定初始点0x ,及初始搜索步长h 的情况下,首先以初始步长向前搜索一步,计算()0f x h +。
(1) 如果()()00f x f x h <+
则可知搜索区间为0[,]x x h +%,其中x %待求,为确定x %,后退一步计算0()f x h λ-,λ
为缩小系数,且01λ<<,直接找到合适的*λ,使得()*
00()f x h f x λ->,从而确定搜
索区间*
00[,]x h x h λ-+。
(2) 如果()()00f x f x h >+
则可知搜索区间为0[,]x x %,其中x %待求,为确定x %,前进一步计算0()f x h λ+,λ为
放大系数,且1λ>,知道找到合适的*λ,使得()*
00()f x h f x h λ+<+,从而确定搜索
区间*
00[,]x x h λ+。
进退法求极值
基本思想:
对f (x )任选一个初始点x 1及初始步长h 0, 通过比较这两点函数值的大小,确定第三点位置,比较这三点的函数值大小,确定是否为 “高—低—高” 形态。
算法原理
1.试探搜索:
选定初始点x 1, x 2= x 1+ h 0,计算 y 1=f(x 1), y 2=f(x 2) (a )如y 1>y 2,转2向右前进; (b )如y 1<y 2, 转3向左后退;
图8.1
2.前进搜索
加大步长 h =2 h ,产生新点x 3= x 2+ 2h 0 ;
(a )如y 2<y 3,则函数在[x 1,x 3]内必有极小点,令a= x 1,b= x 3搜索区间为[a ,b] ;
(b)如y 2>y 3,
令x 1=x 2 ,y 1=y 2 ; x 2=x 3 ,y 2=y 3 ; h=2h
重新构造新点x 3=x 2+h ,并比较y 2、y 3的大小,直到y 2<y 3。
图8.2
3.后退搜索
令 h =-h 0 ,令x 3=x 1 ,y 3=y 1 ;x 1=x 2 ,y 1=y 2 ;x 2=x 3 ,y 2=y 3 ;h=2h ; 产生新点x 3= x 2+ h ;
(a )如y 2<y 3,则函数在[x 1,x 3]内必有极小点,令a= x 3,b= x 1,搜索区间
为[a ,b] (b )如y 2>y 3,
令x 1=x 2 ,y 1=y 2 ; x 2=x 3 ,y 2=y 3 ;h=2h
重新构造新点x 3=x 2+h ,并比较y 2、y 3的大小,直到y 2<y 3。
令a= x 1,b= x 3,搜索区间为[a ,b] ;
图8.3
(2)算法步骤
用进退法求一维无约束问题min (),f x x R ∈的搜索区间(包含极小值点的区间)的基本算法步骤如下:
(1) 给定初始点(0)
x
,初始步长0h ,令0h h =,(1)
(0)x
x =,0k =;
(2) 令(4)(1)x x h =+,置1k k =+;
(3) 若()()
(4)(1)f x f x <,则转步骤(4),否则转步骤(5); (4) 令(2)
(1)(1)(4),x
x x x ==,()()(2)(1)f x f x =,()()(1)(4)f x f x =,令2h h =,
转步骤(2);
(5) 若1k =,则转步骤(6)否则转步骤(7);
(6) 令h h =-,(2)(4)x x =,()()
(2)(4)f x f x =,转步骤(2); (7) 令(3)
(2)(2)(1)(1)(4),,x
x x x x x ===,停止计算,极小值点包含于区间
(1)(3)(3)(1)[,][,]x x x x 或
(3)算法的MATLAB 实现
在MATLAB 中编程实现的进退函数为:min JT 功能:用进退法求解一维函数的极值区间。
调用格式:[min ,max ]min (,0,0,)x x JT f x h eps = 其中,f :目标函数; 0x :初始点; 0h :初始步长; eps :精度;
min x :目标函数取包含极值的区间左端点; max x :目标函数取包含极值的区间又端点。
进退法的MATLAB 程序代码如下: function [minx,maxx]=minJT(f,x0,h0,eps) %目标函数:f; %初始点:x0; %初始步长:h0; %精度:eps;
%目标函数取包含极值的区间左端点:minx; %目标函数取包含极值的区间又端点:maxx; format long; if nargin==3 eps=1.0e-6; end x1=x0; k=0; h=h0; while 1
x4=x1+h; %试探步
k=k+1;
f4=subs(f,findsym(f),x4);
f1=subs(f,findsym(f),x1);
if f4<f1
x2=x1;
x1=x4;
f2=f1;
f1=f4;
h=2*h; %加大步长
else
if k==1
h=-h; %反向搜索
x2=x4;
f2=f4;
else
x3=x2;
x2=x1;
x1=x4;
break;
end
end
end
minx=min(x1,x3);
maxx=x1+x3-minx;
format short;
流程图如下:。