机械零件强度可靠性设计的简单数学分析
---《数学文化》的读书报告
徐华超
机设8班，2009302349
摘要 我们都知道传统的设计方法是把设计变量当做确定性变量来看待。

但是对于一大批同类产品总任何特定的一件来讲，许多设计变量（例如工作载荷，极限应力，零件尺寸等）都是随机变量。

如果在产品的设计过程中通过概率与统计的方法来分析和处理这些随机变量，则可以更为准确的把握产品的可靠性。

基于上述思想及相应的方法进行对机械零件强度可靠性设计中变量分析，可以确定产品在规定的工作条件下及规定的使用期限内完成规定功能的概率，这一概率就是反应产品可靠性的定量指标之一。

关键词 应力 概率密度函数 正态分布 引言
可靠性作为产品的一个重要的质量指标特征，它表示产品在规定的工作条件下及规定
的使用期限内完成规定功能的能力。

在现实中可靠性好可以有效的在规定的时间内完成功能，对产品的安全性，口碑和性价比起到至关重要的作用！在设计产品中所遇到的各种变量采用概率和统计的方法来分析和处理，可以较为准确的把握产品的可靠性。

机械零件的概率设计和相应的可靠度计算是机械可靠性设计的一项重要内容，下面就机械强度的可靠度计算方法做一阐述。

（一）基本概念及公式
如果广义的讲，可以把一切引起失效的外部作用的参数叫做应力，而把零件本身抵抗失效的能力叫做强度，则通过判断应力是否超过强度就可以判断零件的安全性。

若将应力和强度视为随机变量，通过计算强度高于应力的概率，就得到零件的可靠度。

根据这一思想建立的可靠度计算模型成为应力-强度干涉模型，这也是进行各种机械零件的概率设计的基础。

狭义的概念的应力-强度干涉模型是以零件的强度指标（例如零件的极限应力
lim δ)和作
用力σ都是随机变量的客观事实为基础的。

由于它们都是随机变量，因而必然会有相应的分布规律。

令g （r)表示强度指标r 的概率密度函数，p （s ）表示作用应力s 的概率密度函数。

显然，零件失效的条件可以用以下两式的任一个来描述
r s <
0z r s =-<
式中，z 可理解为安全裕度。

对所示的图中给出了强度r 的概率密度函数g （r ）曲线和应力s 的概率密度函数p （s ）曲线。

由于r 和s 都用同样的单位，所以可以表示在同一个坐标系中。

二曲线相交部分即表示干涉。

两件失效的概率F 应等于强度r 小于应力s 的概率，可用以下两式任一个来描述
()F P r s =<
(0)F P z =<
画图
图示 应力-强度干涉模型
（二）强度及应力均为正态应力分布时的可靠性计算
根据实际情况的不同，应力和强度的概率密度函数可以用各种各样的不同表达式。

应力和强度均服从正态分布式最简单的且又比较比较典型的情况。

现利用式z=r-s<0来加以讨论。

由概率论可知，两个正态分布的随机变量的代数和也是一个正态分布的随机变量。

所以，变量z 的数学期望（亦称均值）
z μ，标准差z σ及概率密度函数f （z ）为
z r s μμμ=-
z σ=
()22
()e x p 2z z z f z μσ⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 式中：r μ，s μ-----分别为强度和应力的数学期望； r σ，s σ-----分别为强度和应力的标准差；
变量z 小于零即表示失效，所以零件的失效概率F 即为
()()0
0F P z f z dz
-∞
=<=
⎰
因此，零件的可靠度为
(
)()22
12z z z R F f z dz dz μσ∞∞
⎡⎤-=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰
令
z
z z u μσ-=
，则z dz du σ=,代入上式中得
2exp 2u R du ∞
⎛⎫=
-
⎪⎝⎭
⎰
根据正态分布的概率密度函数的对称性，上式可以表示为
22u R du φ-∞
⎛⎫
⎛⎫=
-= ⎪⎝⎭
式中，φ为标准正态分布随机变量的积分函数值（参考标准正态随机函数表），若令
β=
则有
()
R φβ=
式中，参数β是正态分布的分位数，在可靠性设计中常称为正态分布的可靠性系数，其值取决于零件的强度和应力的数学期望与均方差。

对于上式称为正态分布的联结方程。

利用上式，可以根据已知的
,,,r s r s μμσσ来决定强度及应力均服从正态分布时零件的
可靠度R ，这属于零件的可靠性评估或可靠性分析问题；也可以根据规定的零件可靠度决定
,,,r s r s μμσσ中任何一个值，这属于零件的可靠性设计问题。

（四）单向稳定变应力时机械零件的强度计算
在做机械零件的疲劳强度计算式，首先需求出机械零件危险截面上的最大工作应力
max σ及最小的工作应力min σ，据此计算出工作平均应力的m σ及工作应力幅a σ，然后，在
极限应力线图的坐标上即可标出相应于
m σ及a σ的一个工作应力点M 。

根据零件的载荷变化规律以及零件与相邻的零件互相约束的情况的不同，可能发生的典型的应力变化规律通常有下述两种情况；
1. 当r C =的情况，即,
max min max min 11a m r C r σσσσσσ--===-+式中，,C 式也是一个常数。

此时M 点的零件的疲劳极限
()1,,,
1m a x
m a x m a ae me m m σασσασσσσσσσσσκσϕσκσϕσ--+=+=
=
++ 画图
于是，计算安全系数
ca
S 及强度条件为
,
m a x
l i m 1m a x ca m S S
αασσσσσσκσϕσ-===≥+
此时的极限应力即为屈服极限
s σ。

这就是说，工作应力为N 点，可能发生的屈服失效，故
只需进行静强度计算，不需要用概率法统计性计算。

2. 当
m C σ=的情况，即需找到一个其平均应力与零件工作应力的平均应力相同的极限应
力。

此时M 点的零件疲劳强度极限,
max σ，为
()1,
m a x 1
1m e m σσσ
σ
σσκϕσϕσσσκκ--+-⎛⎫=+-=
⎪⎝
⎭ 画图
,
1m
ae σσ
σϕσσκ--=
于是最大应力求得的计算安全系数
ca
S 及强度条件式为
()()
,
1max
lim max m ca m a S S
σσσσκϕσσσσσκσσ-+-===≥+
在
m C σ=的条件下，极限应力统为屈服极限，也是只进行静强度计算，也不需要用概率统
计法计算。

（五）单向不稳定变应力时机械零件强度计算
不稳定变应力可分为非规律性的和规律性的两大类。

规律性的不稳定变应力，其变应力参数的变化有一个简单的规律。

承受近似于规律性的不稳定变应力的零件，例如专用机床的主轴，高炉上料机构的零件等。

下面就来分析这一问题。

根据
r N σ-曲线，可以找出仅有1σ作用时使材料发生疲劳破坏的应力循环次数N 。

假设应力每循环一次都对材料的破坏时一定的，则
应力1σ每循环一次对材料的损失率即为1
1
N ，而循环 画图
1n 次的1σ对材料的损伤率即为1
1n N ，如此类推， 循
环
2
n 次的2σ对材料的损伤率为2
2
n N 等。

因为当损伤
率达到100%时，零件材料发生破坏，对应力极限情况有
11z
i
i i n N ==∑
但是这只是个假设，通过大量实验和统计证明，当各个作用的应力幅无很大的差别以及无短时的强烈过载时，这个规律是对的；当各级应力是先作用最大的，然后依次降低时，则等号右边将不等于1而小于1；当各级应力是先作用最小的，然后依次升高时，则式中右边要大于1。

通过大量的实验和统计下，可以有以下的关系
10.7 2.2z
i
i i n N ==∑
非规律的不稳定变应力，其变应力参数的变化要受到很多随机变量的影响。

承受非规律性不稳定变应力作用的典型零件，例如汽车的钢板弹簧等。

对于这一类问题，应根据大量的实验，求得载荷及应力的统计分布规律，然后用概率与统计的方法来处理。

通过上述的分析，可以得出机械零件的可靠性设计能通过概率与统计的方法来分析和处理这些随机变量，提供了一种更好的设计方法，这样的设计更能准确的把握产品的可靠性，从而提高产品的性能和稳定性，值得推广和使用。

参考文献
[1] 濮良贵，纪名刚. 机械设计. 7版. 北京：高等教育出版社，2001 [2] 王步瀛，机械零件强度计算的理论和方法. 北京：高等教育出版社，1986。