,s .
, r ； j 1, 2,
定义 3.5 di ( ), i 1, 2, , r 的如上因式分解式中， 所有幂指数不为 0 的因式
( j )
kij
( i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s )，称为 A( ) 的初等因子. 全体初等因子的集合称为初等因子组.
以下在复数域内讨论问题.
d1 ( ) ( 1 ) ( 2 )
k11 k12
( j ) ( j )
k1 j
( s )k1 s ( s )kis ( s )krs
d i ( ) ( 1 ) ( 2 )
ki 1
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 m n 型的 –矩阵 A( ) ，
作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A( ) 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
定义 3.2
B 的充要条件是 A 、 B 有相同的不变因子.
B 的充要条件是 A 、 B 有相同的初等因子组.
定义 3.6 设 i 为 A 的互异特征值， i 1, 2, 且 A 的特征多项式
尽管它们的初等因子组相同，但因为两者的秩不等， 显然不等价.
为了求 A( ) 的初等因子，只要将 A( ) 化为准对角阵即可， 因为有以下结论：若 矩阵
A1 ( ) A( ) A2 ( ) Ak ( )
则 A1 ( ), A2 ( ),
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵， 其中 aij ( ) (i 1, 2,
, m; j 1, 2,
, n) 为 的多项式．
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算
都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
1 A( ) 2 3
中，因为 det A( ) 4 ， det B( ) 3 2 ，所以
A( ) 是可逆的， B( ) 是不可逆的．
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换：
1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列） ； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列） ； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后， 加到第 i 行（列）上．
推论 1 任一 n 阶可逆 -矩阵均可经过若干次初等 变换化为 n 阶单位矩阵 En . 推论 2 可逆 -矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.
定义 3.3 n 阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的 首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列 式因子，记为 Dk ( ) .
则 di ( )(i 1, , r ) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, 其中 r 为 A( ) 的秩.
, r ) 称为 A( ) 的不变因子. , dr ( ) 就是
定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1 ( ), 它的不变因子.
r1 r3
1 2 3 3
化为 Smith 标准形，其不变因子为 d1 ( ) 1 ， d2 ( ) ( 1) ，
d3 ( ) ( 1)2 .
方法二 用定义计算 根据最大公因式的计算，知行列式因子为
D1 ( ) 1 D2 ( ) ( 1)
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
( 1) ，求 A( ) 的 例 3.4 设 A( ) 2 ( 1) Smith 标准型及不变因子.
1 1 A ( ) ) A( ) A( ) ( A ( ) ) En ， c c
所以 A( ) 是可逆的， A( ) 1
1 A ( ) ，其中 A ( ) 是 A( ) 的伴随矩阵． c
例 3.1
–矩阵
3 1 3 ， B( ) 2 2 5 4 2
D3 ( ) 2 ( 1)3
不变因子为:
d1 ( ) 1 ， d 2 ( )
D3 ( ) D2 ( ) ( 1)2 ( 1) ， d 3 ( ) D2 ( ) D1 ( )
所以 A( ) 的 Smith 标准形为:
1 ( 1) 2 ( 1)
解
A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换
( 1) ( 1) r3 ( 2) r2 A( ) c3 c2 ( 2) 1 ( 1)2
的秩相等,但不等价.
定理 3.3 若 rank ( A( )) r ，则
d1 ( ) d 2 ( ) A( ) D( ) 0
d r ( ) 0
其中 di ( ) | di 1 ( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)，
, Ak ( ) 的各个初等因子组的全体即为 A( )
的全体初等因子组.
3.2 矩阵的Jordan标准形
今后为叙述简约，规定对于数字矩阵 A ， 称 E A 的不变因子、初等因子为 A 的 不变因子、初等因子.
定理 3.6 A ~ B E A E B 定理 3.7 A 定理 3.8 A
第三章 矩阵的Jordan标准型
矩阵的Jordan标准型不但在矩阵理论与 计算中起着十分重要的作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛的应用.
3.1不变因子与初等因子
形如
a11 ( ) a12 ( ) a21 ( ) a22 ( ) A( ) am 1 ( ) am 2 ( ) a1n ( ) a2 n ( ) amn ( )
定义 3.1
设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使
A( )B( ) B( ) A( ) En
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1 ( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
定理 3.1
n阶
–矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( )
的行列式是一个非零常数．
证明 若 –矩阵 A( ) 可逆，则有 A( )B( ) B( ) A( ) En 成立， 对其两边取行列式便有 A( ) B( ) 1 ，由于 A( ) 、 B( ) 都是 的多项式， 所以 A( ) 、 B( ) 都是常数． 反之，设 A( ) c 0 ，则 (
0 0 1 0 1 0 0 0 0 c3 c2 c2 ( 2 ) c1 c ( 1) c3 ( ) c1 3 2 0 0 0 0 ( 1)
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 ( r 1) 不为零， 而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ．
当 rank ( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
由定义知 Dn ( ) 即为 A( ) 的行列式的值，显然
Dk ( ) | Dk 1 ( ) (称为依次相除性)， k 1, 2,
,n1 .
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr 1 ( ) 0 ， 记
d1 ( ) D1 ( )
Dk ( ) d k ( ) , k 2, ..., r Dk 1 ( )
( 1) ( 1) r2 r3 2 2 ( 1) ( 1) c2 ( 2) c3 1 0 1
1 1 ( 1) r2 r3 ( 1) c c c c 2 2 ( 1) ( 1)
定理 3.5 n 阶 矩阵 A( ) 、 B( ) 等价的充要条件 是它们有相同的初等因子组且秩相等.
需) 2 2 ( 2) 2 2 B( ) ( 2) 0
di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2,
,r .
D( ) 为 A( ) 的等价标准形，称为 Smith 标准形.
1 2 为 Smith 标准形. 例 3.2 化 A( ) 1 2 2 2 解 2 2 1 1 r3 r1 0 A( ) 0 c1 c3 0 0 2 1 2 2
设 A( ) 、 B( ) 是两个同型的 –矩阵，
如果 A( ) 可以经过有限次初等变换化为 B( ) ， 则称 A( ) 与 B( ) 是等价的，记作 A( ) B( ) ．
等价关系具有以下性质： 1．自反性： A( ) A( ) ； 2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ． 3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C ( ) ， 那么 A( ) C ( ) ．
ki 2
kij
d r ( ) ( 1 )kr 1 ( 2 )kr 2