幂与对数运算
一．知识点。

1． 幂。

①当n 为任意正整数时，(n a )n
=a.
②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨
⎧<-≥)
0()
0(a a a a .
③整数指数幂的运算性质： )
()(),()()
,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+
2． 对数与幂的转化：log N b a a b N =⇔=。

3． 对数的运算性质。

①log log log
M N MN a
a
a
+=；②log log log M M
N N a a
a
-=；③log log N
b b
a a N =； ④1log log M
b
b a a M =；⑤log log N M b b a a N M
=；⑥1
log 1;log 0a a a ==。

二．例题。

1．求下列各式的值：
（1）()338- （2）()210-
（3）()44
3π- （4）
()()b a b a >-2
2．已知,0<<b a *∈>N n n ,1， 化简：()()n n
n n
b a b a ++-．
3．求值： 238， 12
100-
， 314-⎛⎫
⎪⎝⎭
， 34
1681-
⎛⎫ ⎪⎝⎭．
4．用分数指数幂的形式表示下列各式()a
o >：2a
3a
5．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）21
1511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； （2）8
3184
m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；
6．计算下列各式：
（1）
（2)
2
0a >．
7．解不等式：2
24
1
22
x
x +-≤； 8．解不等式：()
2
441
1
2
log 20x
x -+->；
9．解不等式：1
3
18329x x +-+⋅>。

二．练习。

1．化简：
（1）()()()0,077
88
88<<-+++b a b a b a b ；
（2）()
⎪⎭⎫
⎝
⎛<+-2391246322b a b ab a
2．用根式的形式表示下列各式(a ＞０) 3
25
34
35
1
,,,-
-a
a
a a
3.用分数指数幂表示下列各式：
（1）32x （2）43)(b a +（ａ＋ｂ＞０） （3）32)(n m - （4）4)(n m -（ｍ＞ｎ） （5）5
6
q p ⋅（ｐ＞０） （6）
m
m 3
4．三个数0.377,0.3,ln0.3a b c ===大小的顺序是 （ ） A ．a b c >> B. a c b >> C ．b a c >> D. c a b >>
5.已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1
y
＝2，则A 的值是 （ ）
A ．7
B ．7 2
C ．±7 2
D ．98 6.若a>0且a ≠1，且14
3
log a
<，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．0<a<1
B ．4
3
a 0<<
C ．43a 043a <<>或
D ．4
3
a 0<<或a>1
7.函数y = log 2 ( x 2 – 5x – 6 )单调递减区间是 （ ）
A ．⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
∞-25,
B ．⎪
⎭⎫
⎝⎛+∞,25
C ．()1,-∞-
D ．(+∞,6)
8.若)
1()
1(32log ,log ,10+-+-==<<a a a
a a a Q P a ，则P 与Q 的大小关系是（ ） A ．P >Q
B ．P <Q
C ．P =Q
D ．P 与Q 的大小不确定
9.若函数y = log 12
| x + a |的图象不经过第二象限，则a 的取值范围是（ ）
（A ）( 0，+ ∞ )，（B ）[1，+ ∞ ) （C ）( – ∞，0 ) （D ）( – ∞，– 1 ] 8. 已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，若12()()3f x f x -=，则2212()()f x f x -=
．
9．函数
2()log (2)f x x =-的单调减区间是 ．
10．已知函数()()()[]
111lg 22+++-=x a x a x f 的定义域为()+∞∞-,，则实数a 的取值范围是________________________.
11．设方程x 2－10x ＋2＝0的两个根分别为α，β，求log 4α2－αβ＋β
2
(α－β)2
的值．
12．已知函数()ln()(10)x x f x a b a b =->>>. (1) 求函数()f x 的定义域I ；
(2) 判断函数()f x 在定义域I 上的单调性，并说明理由； （3）当,a b 满足什么关系时，()f x 在[)1+∞，上恒取正值。