⎭⎬⎫⎩⎨⎧=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡8/14/1324/18/310)(4321x x x x X P X 该信源发出的信息序列为(202 120 130 213 001 203 210 110 321 010 021 032 011 223 210)。

求：(1) 此消息的自信息量是多少(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少解： (1)此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此消息发出的概率是：62514814183⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=p此消息的信息量是：bit p I 811.87log =-=(2)此消息中平均每符号携带的信息量是：bit n I 951.145/811.87/==某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知信源的概率空间为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4/34/110)(X P X(1) 求信息符号的平均熵；(2) 由100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m 个“0”和（100 - m ）个“1”）的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。

解： (1)bit x p x p X H ii i 811.043log 4341log 41)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=∑(2)bit m x p x I x p mi i m mm i 585.15.4143log)(log )(434341)(100100100100100+=-=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=---(3)bit X H X H 1.81811.0100)(100)(100=⨯==某信源的消息符号集的概率分布和二进制代码如题表所列。

题表(1) (2) 求每个消息符号所需要的平均二进制码的个数或平均代码长度。

进而用这一结果求码序列中的一个二进制码的熵；(3) 当消息是由符号序列组成时，各符号之间若相互独立，求其对应的二进制码序列中出现0和1的无条件概率0p 和1p ，求相邻码间的条件概率1/0p 、0/1p 、1/1p 、0/0p 。

解： (1)bit x p x p X H ii i 75.181log 8181log 8141log 4121log 21)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-=∑(2)bit X H LX H N X H l x p l E L N ii i i 1)(1)(1)(75.1381381241121)()(====⨯+⨯+⨯+⨯===∑(3)设消息序列长为N ，则0u 、1u 、2u 、3u 的个数分别为8/ ,8/ ,4/ ,2/N N N N 个。

则0的个数为8708181412NN N N N =⨯+⨯+⨯+⨯ 而1的个数为8738281402NN N N N =⨯+⨯+⨯+⨯因而5.010==p p212141/ 21212121/21212121/ 212141/1111/11010/10000/01101/0====⨯===⨯=====p p p p p p p p p p p p设有一个信源，它产生0，1序列的信息。

该信源在任意时间而且不论以前发生过什么消息符号，均按P(0) = ，P(1) = 的概率发出符号。

(1) 试问这个信源是否是平稳的；(2) 试计算H(X 2), H(X 3/X 1X 2)及H ∞；(3) 试计算H(X 4)并写出X 4信源中可能有的所有符号。

解： (1)这个信源是平稳无记忆信源。

因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．……” (2)bitX H X X X X H H bit x p x p X H X X X H bitX H X H N N N N ii i 971.0)().../(lim 971.0)6.0log 6.04.0log 4.0()(log )()()/( 942.1)6.0log 6.04.0log 4.0(2)(2)(12132132====+-=-===+⨯-==-∞>-∞∑(3)1111111011011100101110101001100001110110010101000011001000010000的所有符号： 884.3)6.0log 6.04.0log 4.0(4)(4)(44X bit X H X H =+⨯-==有一马尔可夫信源，已知转移概率为3/2)/(11=S S p ，3/1)/(12=S S p ，1)/(21=S S p ，0)/(22=S S p 。

试画出状态转移图，并求出信源熵。

解：bitS S p S S p S p H S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S S p S p S S p S p S p S S p S p S S p S p S p iji j i j i 689.0 31log 314332log 3243 )/(log )/()(4/1)(4/3)(1)()()(31)()(31)()()(32)()/()()/()()()/()()/()()(2121121221112122222121111=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯-=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⎩⎨⎧+=+=∑∑∞2/3黑白传真机的信息元只有黑色和白色两种X ={黑，白}，一般气象图上黑色出现的概率为P(黑) = ，白色出现的概率为P(白) = ，黑白消息前后没有关联，其转移概率为P(白/白) = ，P(黑/白) = ，P(白/黑) = ，P(黑/黑) = 。

求该一阶马尔可夫信源的不确定性H(X/X)，并画出该信源的状态转移图。

解：bitS S p S S p S p H S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S S p S p S S p S p S p S S p S p S S p S p S p iji j i j i 553.0 9.0log 9.0321.0log 1.0322.0log 2.0318.0log 8.031 )/(log )/()(3/2)(3/1)(1)()()(2)()(2.0)(9.0)()(1.0)(8.0)()/()()/()()()/()()/()()(21211212221112122222121111=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯+⨯+⨯-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=⎩⎨⎧+=+=⎩⎨⎧+=+=∑∑∞设信源产生A, B, C 三种符号2/1)/(=B B p ，4/1)/()/(==B C p B A p ，8/5)/(=A A p ，4/1)/(=A B p ，8/1)/(=A C p ，8/5)/(=C C p ，4/1)/(=C B p ，8/1)/(=C A p 。

试计算冗余度。

解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=)(85)(41)(81)()(41)(21)(41)()(81)(41)(85)(C B A C C B A B C B A A s p s p sp s p s p s p s p s p s p s p s p s pp(黑/黑)=0.8S 1S 2p(白/白)=0.9138.03log 366.111 366.1 85log 853141log 413181log 8131 41log413121log 213141log 4131 81log813141log 413185log 8531 )/(log )/()(3/1)(3/1)(3/1)(1)()()()()()(0333=-=-==⎥⎦⎤⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===⎩⎨⎧=++==∞∞∑∑∑H H R bit p e e p e e p e p H s p s p s p s p s p s p s p s p s p ijki j i j i CB AC B A C B A一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。

信源X 的符号集为{0, 1, 2}。

(1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H ∞。

解： (1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=)(43)(31)()(41)(32)()(41)(43)(323122311s p s p s p s p s p s p s p s p s p⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧==11/4)(11/3)(11/4)()(43)()()(3211231s p s p s p s p s p s p s p(2)bite e p e e p e p H ijki j i j i 840.0 43log 4311441log 41114 31log3111332log 32113 41log4111443log 43114 )/(log )/()(333=⎥⎦⎤⨯+⨯+⨯+⨯+⎢⎣⎡⨯+⨯-=-=∑∑∑∞。