ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x Acos(t )
x0 Acos
Acos(t )
2
0 Asin
arctan 0 x0
A
x02
02 2
10.1.2 振幅和相位
• 例10-1 如图所示，有一劲度系数为32.0N•m-1的轻弹簧， 放置在光滑的水平面上，其一端被固定，另一端系一质量 为500g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位 置10.0cm处，然后将物体由静止释放，物体将在水平面 上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的位移、速度和 加速度与时间的关系。
• 将简谐振动的运动学方程中的位移 对时间求一阶、二阶导 数，可分别得简谐振动物体的速度和加速度为
dx Asin(t ) Acos(t )
dt
2
a
d2x dt 2
2 Acos(t
)
2 x
2 Acos(t
)
10.1.1 简谐振动方程
• 简谐振动的位移、速度、 加速度随时间变化曲线
x Acos(t ) Acos(t )
与位移x 的方向相反。
10.1.1 简谐振动方程
• 如果小球的质量为 m ，根据牛顿第二定律，小球的
运动方程可以表示为
m
d2x dt 2
kx
，令
k m
则 上式变为
d2x dt 2
2x
0
简谐振动的 动力学方程
上式的解可表示为 x Acos(t )
简谐振动的 运动学方程
• 式中 A为振幅，表示振动物体离开平衡位置的最大 位移的绝对值。
时刻矢量 A 末端在 x 轴上的投影
t
x
点 P 相对原点的位移为 x Acos(t )
t 0
P
x
10.1.3 简谐振动的旋转矢量法
O
x
10cm
10.1.2 振幅和相位
解：设平衡位置O为坐标原点，物体沿 x 轴作简谐振动。
按题意，在初始时刻时，物体处在最大位移处，所以振幅
为 A 10.0cm=0.1m
由式 x Acost
知 x0 Acos A
即
cos 1
所以初相位 0
振动角频率为 k 32 8rad s1
第十章 机械振动和机械波
• 振动是自然界中一种十分普遍的运动形式， 物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振 动。
• 机械波是机械振动在弹性介质中的传播过程 （如声波、水波、地震波等）。
• 本章着重研究简谐振动的规律、机械波的基 本规律、波的能量。
10.1 简谐振动
•简谐振子 在一个光滑的水平面上，有一个一端被固定的轻弹 簧（质量不计），弹簧的另一端连接着一个小球。
• 反之，当 0 时，称振动2比振动1的相位落后
10.1.2 振幅和相位
•当 0（或 2π 的整数倍）时，两个振动的步调完全
相同，这种情况称为同相；
•当 （或 π 的奇数倍）时，两个振动的步调完全相
反，这种情况称为反相。
•速度 的相位比位移 x 的相位超前 2 ，加速度 a 的相
位比速度 的相位超前 2 ，因此，加速度 a 的相位比位
移 x 的相位超前 π ，即加速度与位移反相。
x Acos(t ) Acos(t )
2
a 2 Acos(t )
10.1.2 振幅和相位
• 振幅和初相位的确定
• 对于确定的弹簧振子，振幅 A 和初相位 φ 可以由初始条 件确定。
• 在初始时刻（t=0 ），初始位移和初始速度分别为
2
a 2 Acos(t )
10.1.2 振幅和相位
• 设角频率相同的两个简谐振动
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
• 它们的相位差为
(t 2 ) (t 1) 2 1
• 任意时刻的相位差都等于初相位之差而与时间无关。
• 当 0 时，则到达同一运动状态，x2 比 x1 需要的时间 少，称振动2的相位比振动1的相位超前 ；
简谐振动是最简单、 最基本的振动
10.1.1 简谐振动方程
•O点为平衡位置。弹簧呈自 （a） 由状态时，小球在水平方向 不受力的作用。
（b）
•M点(弹簧伸长) M’点(弹簧 缩短)，小球受到弹簧所施加 的弹性力，方向指向O点。 （c）
•若将小球释放，则小球在弹 （d） 性力 的作用下左右往复振动 起来，并一直振动下去。 这个系统称为弹簧振子。 （e）
• ω表示振动物体在 2π秒内所完成的完整振动的次数 ，称为角频率，单位是弧度/秒 。
• 它们之间的关系是 T 2 1
10.1.1 简谐振动方程
• A、ω （或 T 、ν ）和 φ是描述简谐振动特征的三个参量， 称为简谐振动的特征量，由它们可以把一个简谐振动完全确 定下来。
• 其中 ω、T 和 ν 是只与系统本身性质有关的参量，分别称为 系统的固有角频率、固有周期和固有频率。
m 0.5
10.1.2 振幅和相位
• 因此，位移与时间的关系为 x 0.1cos 8t m
• 速度和加速度的最大值分别为
m A 0.8m s1 am 2 A 6.4m s1
速度和加速度与时间的关系分别为
0.8sin8t ms1
a 6.4cos8t ms2
10.1.3 简谐振动的旋转矢量法
O
O
M
O
M’
O
O
10.1.1 简谐振动方程
• 为了描述小球的运动规律，设小球的平衡位置O为坐标原 点，取通过点O的水平线为 x 轴。
• 如果小球的位移为 x，则由胡克定律可知，弹簧振子受到 的弹性力
F kx
• 这种大小与位移大小
成正比而且方向与位移方向相反的力称为线性回复力。
• 上式中的 k 为弹簧的劲度系数，负号表示线性回复力 F
• 简谐振动还可以用旋转矢量法来描绘。
• 以简谐振动的平衡位置作为轴的坐标原点，自O 点出发作一
矢量 （其长度等于简谐振动振幅 A ），
设 t=0 时刻，矢量 A 与 x 轴所成的角
等于初相位φ 。
A
M tt
• 若矢量A 以角速度 ω （其大小 等于简谐振动角频率 ）匀速 绕O点逆时针旋转，则在任一 O
简谐振动的运动学方程 x Acos(t )
• (t ) 是t 时刻振动的相位，单位是弧度，决定
简谐振动状态的物理量，
• 是t=0时刻的相位——初相位，相位之差称为相
位差。
• 振动物体完成一次完整振动所经历的时间 T ，称为 周期，单位是秒 。
• 周期的倒数ν 表示振动物体在单位时间内完整振动 的次数，称为振动的频率，单位是赫兹 。