对称元素: 旋转轴 对称操作: 旋转
操作使图形完全复原是指：一个
人看见物体后闭上眼睛，另一个
人对物体进行某一操作，第一个
人睁开眼睛后不知道是否对物体
进行了操作。
H1
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O H2
水分子的旋转操作
OO
H21
H12
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对称元素（symmetry element）
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4.1 对称元素与对称操作
操作（operation）
不改变分子中各原子间距离使分子几何构型发生 位移的一种动作。
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对称操作（symmetry operation）
每次操作都能产生一个和原 来图形等价的图形，通过一次或 几次操作使图形完全复原。
a1nb11 b12 b13 a2nb21 b22 b23
amnbn1 bn2 bn3
b1l c11 c12 b2lc21 c22
bnl cm 1 cm2
c1l c2l
cml
c 2 3 a 2 1 b 1 3 a 2 2 b 2 3 a 2 n b n 3
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对称操作的矩阵表示
y
'
y
z ' z
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4.1.1 旋转轴 Cn(n) 和旋转操作Ĉn(L(α))
n 重旋转可衍生出(n-1)个旋转操作， 记为Ĉni(i=1,2,…,n-1 ), Ĉnn = Ê ( n 为任意正整数 )
旋转操作是实动作，可以真实操作实现。 若将 z 轴选为旋转轴，旋转操作后新旧坐标间的关系为:
y
(x ', y ')
x'
x cos sin 0x
y'Cˆ()ysin cos 0y
α
( x , y ) z'
z 0
0 1z
x ' x cos y sin
x
y
'
x
sin
y
cos
z ' z
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对称操作的积
对称操作
对 称 元 素 C6
连续行施两次对称操作
C
1 6
称为对称操作的积
C61C61 C62 C31
C
3 6
C
1 2
C
4 6
C
2 3
C
5 6
C
6
1
C
1 6
C
6
5
C65C65 C65C61E
C
5 6
C
6 6
Eˆ
C
1 6
与
C
5 6
互逆
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对称操作的积相当于连续行施两次对称
操作对应两个矩阵相乘，即矩阵的积。
对于绕同一轴的旋转有如下规律：
iˆ iˆ 1
反演操作是虚动作，不可能具体真实操作， 只能在想象中实现。
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第4章
分子的对称性
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对称性的概念
对称性普遍存在于自然界。 例如五瓣对称的梅花、桃花， 六瓣对称的水仙花、雪花（轴 对称或中心对称）；建筑物和 动物的镜面对称；美术与文学 中也存在很多对称的概念。
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对称性的概念
自然界中的 对称性
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CnmCnl Cnml
Cnm l Cnml
Cnm
Cm|n n
分子中若有多个旋转轴，轴次最高的 轴一般叫主轴。
m | n 表示m除以n的余数
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4.1.3
对称中心（i）和反演操作（
i
）
与对称中心
i
对应的对称操作叫反演或倒反
i
。
若将坐标原点放在对称中心处，则反演操作将空间
任意一点（x, y, z）变为其负值（-x, -y, -z），反演操
作的矩阵表示为：
y
x' 1 0 0 x x ' x
i
x
y'
0
z' 0
1 0
0
y
1 z
y'
y
z ' z
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对称中心和反演操作
y
i n 为奇数
i
in
x
E n 为偶数
连续进行两次反演操作等于不动操作，即
i2
E
，
最小周期为2；反演操作和它的逆操作相等，即
对称操作所依据的几何要素 （点、线、面及组合）
点
线
面
对称中心
对称轴
对称面
组合
反轴或 象转轴
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对称元素和对称操作是两个既有联系又有区别的 概念，一个对称元素可以对应多个对称操作。
例如 C3 轴的三个对称操作
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C3 轴的三种对称操作
Ĉ3 Ĉ3
旋转轴次 n 2 ； α 为基转角 （规定为逆时针旋转）
各种操作相当于坐标交换。将向量(x, y, z)变为
(x‘, y’, z‘) 的变换, 可用下列矩阵方程表达:
x' a b c x
y'
d
e
f
y
z' g h i z
图形是几何形式 矩阵是代数形式
x ' ax by cz
y
'
dx
ey
fz
z ' g x h y iz
对称性的概念
题
草桐暮空 碧梧城阁
雨人夜春 映随凉晚
织
余半边绣 花月远帘 落低雁疏 晚凉随映
疏雁低落 锦
帘 绣 阁
远 边 城
月 半 梧
花 余 碧
苏 轼
图
回
春夜人雨 空暮桐草 文
。，。， 。，。，
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对称性的概念
微观物体也具有多种 多样的对称性。原子轨道， 分子轨道及分子几何构型 都具有某种对称性，这些 对称性是电子运动状态和 分子结构特点的内在反映。
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对称性的概念
利用对称性原理探讨分子的结构和性质，是认识分子结构、 性质的重要途径，而且使许多繁杂的计算得到简化，利用对 称性也可以判断分子的一些静态性质（例如：偶极矩，旋光 性等）。总之，对称性的概念（群是其高度概括或抽象）非 常重要，在理论无机、高等有机等课程中经常用到。在本课 程学习阶段，主要要求掌握分子点群的判断及给出点群指明 所包含对称操作（群的元素）等知识点。
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恒等元素 E 和恒等操作 Ê
此操作为不动动作，也称主操作或恒等操作。任何分 子都存在恒等元素，称为平俗或平凡元素。恒等操作对向 量（x, y, z）不产生任何影响。对应单位矩阵。
x' 1 0 0 x
y'
0
1
0
y
z ' 0 0 1 z
x ' x
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矩阵
将mn个数排成m行n列，叫做m行n列的矩阵。
a11 a12
a1n
A
a
21
a22
a
2
n
a
m1
am2
a
m
n
两矩阵相乘：m行n列的矩阵A与n行l列矩阵B相乘，得到m行l列的矩阵C。
ABC
n
Cij Aik Bkam 1 am2