第一章函数第一讲函数的概念【知识归纳】(1) 映射映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；(2) 映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).（3）函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.（4）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.【经典例题】例1 以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？（1）集合A = {P | P 是数轴上的点}，集合B = R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P 是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y ) | x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x 是三角形}，集合B = {x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x 是新华中学的班级}，集合B = {x | x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.练1 已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由： （1）A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；（2）A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； （3）A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”；（4）A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.例21. 函数y = f (x )表示（ ）A ．y 等于f 与x 的乘积B ．f (x )一定是解析式C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ( )A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2+ 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2(x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.x y o x y o x y o x y o第二讲 函数的定义域【知识归纳】1.函数的定义域：函数的定义域是指使得函数有意义的自变量x 的取值。
（注：专指x 的取值范围。
） 2.函数定义域的求法：(1)由函数的解析式确定函数的定义域；(2)由实际问题确定的函数的定义域；(3)不给出函数的解析式，而由)(x f 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域。
注：1、具体函数的定义域（1）若()f x 是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；（2）若()f x 是偶次根式，则函数的定义域是使（被开方数）根号内的式子大于或等于0的实数集合；（3）若()f x 是对数函数，则函数的真数要大于0； （4）若0()f x x =，则x 不等于0 。
（5）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （6）正切函数的角的终边不能在y 轴上. （7）分段函数：①分段函数是一个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. （8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ϕ=的定义域的方法为解不等式：A x ∈)(ϕ，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ϕ=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的方法:A x ∈，求)(x ϕ的取值范围即可.（9）若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（10）若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 2、抽象函数的定义域求解：不管括号内是什么，定义域是指x 的范围；无论括号内是什么，括号的整体范围不变。
3、区间表示法：设a ，R b ∈，且b a <.满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括时用空心点表示.【经典例题】例1.函数x x y +-=1的定义域为（ ）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤例2.函数()()xx x x f -+=1的定义域是（ ）A .()0,+∞B .(),0-∞C.()(),11,0-∞-- D.()()(),11,00,-∞--+∞例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（ ） 5.0,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 例4.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（ ） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或例5.已知()x f21-求函数⎪⎭⎫⎝⎛-xx f 213的定义域是?例6.若函数()268y kx x k =-++的定义域是R ，求实数k 的取值范围.例7.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域.例8.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围.【巩固练习】1.函数()x x x y +-=1的定义域为（ ）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01. ≥x x C{}10.≤≤x x D2.()xx f 11211++=的定义域为 .3.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域； ②求函数⎪⎭⎫⎝⎛-141x f 的定义域. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上方，则()x f 的定义域为（ ）.{}1.<x x A {}1.>x x B {}11.-≠<x x x C 且 {}11.≠->x x x D 且6. （1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==用x a ,表示z .（2）设ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且方程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC∆的形状.第三讲函数的值域【知识归纳】1.函数的值域：函数的值域是指在定义域的范围内函数的取值范围。
（是指y的取值范围。
）2.函数值域的求法：见经典例题中分类。
【经典例题】一．观察法：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1 求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
二．反函数法：函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2．求函数3456xyx+=+值域。
三．配方法：数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。
例3．求函数225,y x x x R=-+∈的值域。
四．判别式法：适用于二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
使用判别式求函数值域的条件是自变量x∈R。
例4．求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。
特别注意转化后的二次方程的二次项系数为0的情况。
常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
五、均值不等式法：适用于二次型的分式函数。
，使用均值不等式的条件是“一正，二定，三相等”。
x+a/x≥2√x·a/x=2√a(x>0)；x+a/x≤-2√a（x<0）。
例5. 求函数y=x 2+x+1/x+1的值域。
.112..22222222ba y 型：直接用不等式性质k+x bxb. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx n x mx nd. y 型x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++六、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。