第三部分 高考解答题训练 专题八 三角解答题训练
专题概览
三角函数部分的解答题一般都放在解答题的前三道题，属于中 档难度的试题，难易适当.
2006年高考各地的18套试题中, 有18道三角函数解答题(江苏没 有三角函数的解答题.上海有2道, 当中的一道题是三角函数的应用性 问题).其中, 有4道和向量综合, 求最值有8道，和三角形结合的有6道.
＝
【解析】 (Ⅰ)m∥n 3 cos2B tan2B＝
32.sinB(∵2c0o<s22BB2 －<π1，)＝∴ 2B3＝cos22πB,∴B2s＝inBπc. osB
3
3
(Ⅱ)已知b＝2,由余弦定理，
4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立).
∵△ABC的面积S△ABC＝
2
(Ⅱ)∵tanα+cotα= c sio nsc sio nssin 1 cos5,
∴sinαcosα= . 1
5
∴
2f(2π)1 2co2s(π)1
4
1tan

4
1tan
=
c
o21 scssioi n2 ns12s
i ncos2s 1cs io ns
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专题概览
2007年的19套37份试卷中，与三角函数相关的试题有102道，约 占总题数的13%，各份试卷中所占分值有差异，但相对比较稳定， 最低为安徽卷理科14分，最高为浙江卷、宁夏与海南卷23分，平均 分为18.9分，占全卷的12.6%，与《数学大纲》的课时比例15.2%相 比略低，文、理科完全相同的题目有22道，类似题有14道.与平面向 量相关的试题64道.在37份试卷中，除北京卷理、文，江苏卷3份试卷 外的34套试卷中，均有一道三角函数的解答题，其中18份试考查是 解三角形的有关知识，有16道题考查的是三角函数的恒等变形与求 值，12道题涉及三角函数的最值，考查周期性的有5道试题、单调性 的有4道试题，体现了“重点知识重点考”的原则.
(Ⅰ)若0≤x≤ ，π 则 π2xπ5π,
2
6
66
∴ 1sin2(xπ)1, ∴ 1sin2x(π)11,
2
6
6 22
∴f(x)的取值范围为［-1,
1 2
］.
(Ⅱ)令2kπ+
≤π2 2x－
π
≤26 kπ+
(k∈3 π Z), 求得函数f(x)的单调递减区
2
间为［kπ+ , kπ+π ］(k∈5 πZ).
7
得 sin(AC) 4 7 ①
sinAsinC 7
∵a、b、c成等比数列，∴b2＝a·c， 由正弦定理，得sinAsinC=sin2B, 又在△ABC中，有sin(A+C)=sinB，
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∴①式化为
sin B sin2 B

47 7
，∴sinB=
7, 4
由b2=ac,知b不是最大边，
∴B不可能是钝角，
1
.2
π
.
故λ=
2
，12 当f(x)min=

2
3时, x=
2
π. 3
3
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模拟训练
6. (2008·成都)在△ABC中, 已知内角A、B、C所对的边分别为a、
b、c，向量m＝(2sinB, (Ⅰ)求锐角B
), 3n＝ co2sB,2co2sB,且1m∥n.

2
(Ⅱ)如果b＝2,求△ABC的面积的最大值.
i2n
= 2 s ic c n o o ( s c s s i o n ss i) n 2 s ic n o 5 2 s.
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模拟训练
4. (2008·湖南雅礼中学)已知△ABC的三边a、b、c成等比数列, 且cotA+cotC= 4 7 ，a+c=3.
7
(Ⅰ)求cosB (Ⅱ)求△ABC的面积. 【解析】 (Ⅰ)由cotA+cotC= 4 7 ，
a，b的符号确定, φ角的值由tanφ= 确定b )在三角化简、计算及研究函
a
数的最值、性质时起着十分重要的作用.
(5)降幂公式sin2α= 1 cos 2 , cos2α= 1 cos 2在三角变换中可以
2
2
升降幂和变角，有着非常广泛的应用.
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祝您高考成功！
左右分开
老师出了一道题：8÷2=？ 随后问大家：“8分为两半等于几？” 皮皮回答：“等于0！” 老师说：“怎么会呢？” 皮皮解释：“上下分开！” 丁丁说道：“不对，等于耳朵！” 老师：“哦？” 丁丁回答：“左右分开呗！”
sin 4 374 3， cos 7 1
于是tan2α=
2tan 24 3 8 3


1tan2 1(4 3)2 47
(Ⅱ)由0<β<α< ，π 得0<α－β<
π
2
2
又∵cos(α-β)= 1，3
14
∴sin(α-β)=
1co2(s) 1132 3 3
14 14
2
∴cosB=
1sin2 B
1
7 4
3. 4
(Ⅱ)由余弦定理b2=a2+c2－2accosB
ac=a2+c2－2ac·3 =(a+c)2－7 ac，解得ac=2.
4
2
∴S△ABC=
1 acsinB=
2
7. 4
模拟训练
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模拟训练
5. (2008·南开)已知向量a=(cos 3x, sin 3x),b=(cos ,x－sin )x ,
由β=α-(α-β)
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模拟训练
cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β) +sinαsin(α-β)
= 1134 33 31.
7 14 7 14 2
所以β= π.
3
2. (2008·浙江台州)已知函数f(x)=sin2ωx+
(ω>0)的周期为π. (Ⅰ)当x∈[0, π ]时, 求f(x)
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由近三年高考考查情况可以看出：高考题型大致可以分为以下 几类问题：与三角函数单调性有关的问题，与三角函数图象有关的 问题，应用同角变换和诱导公式求三角函数的值以及化简、等式的 证明问题，与周期性和对称性有关的问题，三角形中的问题以及和 向量相联系的问题.
由于三角函数问题在高考中一般作为中低档题目出现，因此， 在复习中要以基础知识、基本问题为主，搞清三角函数的本质及各 公式的来龙去脉，并通过不断运用、逐步巩固，达到掌握，并注意 三角与其他知识的联系，特别是三角与向量、解三角形及三角与导 数等的联系，不断提高分析问题和解决问题的能力.
一，便于找联系.
4.
(1) 数 “ 1” 的 代 换 与 逆 用 : 如 1=sin2x+cos2x=sec2x-
tanπ 2x=tanπ x·cotx=tan
4
2
=sin =cos0=…，这些统称为“1”的代换，它有着广泛的应用.
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规律总结
(2)在三角函数的恒等变形中, 要特别注意角的各种变换,凑角是
3
6
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模拟训练
3.(2008·湖北华师一附中)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0≤φ≤π)为偶函
数, 且其图象相邻的一个最高点和最低点间的距离为
(Ⅰ)求函数f(x) (Ⅱ)若tanα+cotα=5，求
2 f (2 π ) 1 4 的值.
1 t an
. 4 π2
【解析】 (Ⅰ)∵f(x)= sin (ωx+φ) 为偶函数，
2
(Ⅱ)f(x) =cos2x－2λ·2cosx=2(cosx－λ)2－1－2λ2.
∵x∈[0, π ] , cosx∈［0,1］,
2
当λ<0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取最小值－1，与已知矛盾,
当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f(x)取最小值,
f此(x时)micn=os－x=1－1 ，2λ又2=x∈ [230, ,解π 得] ,λ∴=x=
2.三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方 面进行差异分析.基本的解题规律是：观察差异(角、或函数、或运 算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导 果或执果索因)，实现转化.
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规律总结
3.
(1)
(2)通过拆角，
(3)活用公式，
(4)边角互化，指在一个三角形中把边与角的函数互换转化为统
∴f(0)=sinφ=±1, 又∵0≤φ≤π, ∴φ= ， π
2
∵其图象相邻的一个最高点和最低点间的距离为 4 π 2 , 又函数f(x)的最小正周期T= 2 π ,
| |
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模拟训练
2
∴ |π| 4π24. 又∵ω＞0，∴ω=1. ∴f(x) =sin(x+ π )=cosx.
一个十分有用的技巧, 如: β=(α+β)- α,
等.
2 2 2
(3)记住一些特殊角的三角函数值,如sin15°=cos75°= 6 2 ,
4
sin75°=cos15°= 6 2 , 有时可以快速解答有关问题.
4
(4)辅助角公式：asinx+bcosx= a2 b2·sin (x+φ)(其中φ所在象限由
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2008年大纲卷15套试题中，每套试题都命制了三角函数的试题, 内容涉及三角函数本身的知识，包括三角函数的化简、求值及三角 函数的值域、最值、单调性、奇偶性和周期性等性质，还特别注意 了三角函数与其他知识的结合，主要是与向量、不等式及解三角形 的结合.大纲卷15套题中，只有湖南卷位于大题中的第四道，上海卷 为第二道，其他均为大题中的第一题.