(1) 抛物柱面 2y2 x, 平面 z 0 及 x y z 1; 422
(2) 抛物柱面 x2 1 z, 平面 y 0, z 0 及 x y 1; (4) 旋转抛物面 x2 y2 z, 柱面 y2 x, 平面 z 0
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
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二、实例分析
例1 求过点 ，垂直于直线 且平行于
平面
的直线方程。
解：设所求直线 的方向向量 ，已知直线 的方向
向量 已知
,已知平面 的法向量为
， ，所以，
，故可取
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2.线面之间的相互关系
面与面的关系
平面
平面 2 : A2x B2 y C2z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直:
A1A2 B1B2 C1C2 0
平行: n1 n2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cos n1 n2
的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 n1 (7, 1, 4)
求出已知直线的方向向量
取所求平面的法向量
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
50
50
50
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例4.
求过直线
L
:
x 5y z 0 xz40
x z 4 0.
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例5. 求过点
且与两直线
都相交的直线 L.
提示: 思路: 先求交点 M1 , M 2 ;
再写直线方程.
的方程化为参数方程
L1
L2
M0 M2
M1 L
设 L 与它们的交点分别为
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M 2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1) .
mn p ABC
平行： s n 0
夹角公式： sin s n
sn
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3. 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束 方程
1 ( A1x B1y C1z D1) 2 ( A2x B2 y C2z D2 ) 0
习题课
第八章
空间解析几何
一、内容小结 二、实例分析
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一、内容小结
1. 空间直线与平面的方程 空间平面
一般式 点法式 截距式
三点式
x y z 1 abc
x x1 x2 x1 x3 (x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n (A, B, C)
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
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例6.直线
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
曲面的方程.
提示: 在 L 上任取一点
y0 x2 y2
得旋转曲面方程
x2 y2 z2 1
旋转轨迹上任一点, 则有
z L
rr
M
M0
O
y
1
x
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思考与练习
P50 题21 画出下列各曲面所围图形:
n1 n2
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线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
s1 (m1, n1, p1)
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
s2 (m2 , n2 , p2 )
垂直:
m1m2 n1n2 p1 p2 0
平行: s1 s2 0
且与平面
x 4y 8z
12 0 夹成 角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
π
n1 4 n
其法向量为 n1 (1 , 5, 1 ).
已知平面的法向量为 n (1, 4, 8)
选择 使 cos π n n1
4 n n1
3
4
从而得所求平面方程 x 20 y 7z 12 0.
从而所求直线的方程为
即
过点 方向向量
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例2 求过点 且通过直线
的平面方程. 解：已知点
直线上的点 所求平面的法向量
，直线方向向量 ，向量
于是可取
所求平面方程为 即
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例3.
设一平面平行于已知直线
x
2x z 0 yz5
0
且垂直于已知平面7x y 4z 3 0,求该平面法线的
1 , 2 不全为 0
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(2)点 M0 (x0, y0, z0 ) 到平面 ：A x+B y+C z+D = 0
的距离为
M0
d
n
M1
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(3) 点
到直线
的距离为
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
m1 n1 p1 m 2 n 2 p2
夹角公式: cos s1 s2
s1 s2
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面与线间的关系
平面: Ax By Cz D 0, n (A, B, C)
直线: x x y y z z , s (m, n , p) mn p
垂直：s n 0
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M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 1 z 1
112
L1
L2
M0 M2
M1 L
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1)
z z1 z2 z1 0 z3 z1
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空间直线
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 0 D2 0
对称式
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
s ( m, n, p ) 为直线的方向向量.
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在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标)
点 M 到坐标轴的距离：
dx y2 z2 dy x2 z2 dz x2 y2
z
R(0,0, z)
C(x,0, z)
r
O
x P(x,0,0)
B(0, y, z)
M y