基于随机过程的三国杀分析张鹏缪雨壮洪杰钟科杰许晨2010-11-30目录1 课题背景 (4)2 研究目的与报告结构 (4)3 闪电命中概率 (5)3.1 背景知识 (5)3.2 建模场景 (5)3.3 理论分析 (5)3.4 仿真结果及讨论 (6)4 司马懿对甄姬洛神技能的影响 (6)4.1 背景知识 (6)4.2 建模场景 (7)4.3 理论分析 (7)4.4 仿真结果及讨论 (8)5 陆逊爆发力 (12)5.1 背景知识 (12)5.2 建模场景 (13)5.3 理论分析 (13)5.4 仿真结果及讨论 (15)6 黄盖寿命及攻击力 (17)6.1 背景知识 (17)6.2 理论分析 (18)6.3 仿真结果及讨论 (19)6.4 补充拓展 (21)7 郭嘉存活力 (24)7.1 背景知识 (24)7.2 建模场景 (25)7.3 理论分析 (25)7.4 仿真结果及讨论 (29)8 周泰存活力 (31)8.1 背景知识 (31)8.2 建模场景 (32)8.3 理论分析 (32)8.4 仿真结果及讨论 (33)9 黄月英爆发力 (35)9.1 背景知识 (35)9.2 建模场景 (35)9.3 理论分析 (35)9.4 仿真结果及讨论 (37)10 总结 (38)10.1 课题总结 (38)10.2 学习感悟 (39)11 成员分工情况 (39)1 课题背景随机过程，作为对一连串随机事件动态关系的定量描述，在自然科学、工程科学以及社会科学各领域具有重要应用。

数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。

人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。

随机过程的概念很广泛，因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。

虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义，但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时，通常想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程。

由于这些过程类在数学上和非数学上的应用中十分重要，用这种理论工具，可以对常见的过程进行分析，进行一系列随机计算，从而可以将随机过程这一理论工具应用到实际中去，可以进行预测与决策，是相关数学模型的理论基础。

本课题选取三国杀桌牌游戏为研究对象，利用随机过程理论进行几个特定场景模式下的人物特性、角色相互关系的建模分析。

正是由于摸牌结果的随机性、策略之间的牵制性，游戏过程往往涉及到随机概率、马尔可夫过程等概念；在研究某一问题的统计平均值时，又建模为随机变量的期望值求解。

显然，基于随机过程的理论研究方法，可以得到一些三国杀游戏中的规律性认识。

2 研究目的与报告结构将随机过程应用于对三国杀的建模分析，可以使我们在理解基本概念和方法的基础上，获得更灵活的对随机事件相互关系的探究；能够深刻体会随机过程在生活实际中的运用；并且，熟练掌握利用建模思想，解决问题的方法。

当然，对于游戏的取胜功略方面，研究结果也将是颇有指导意义的。

下面的章节将分不同人物及场景来进行相关内容的阐述。

其中，3~9节分别对闪电命中概率、司马懿对甄姬洛神技能的影响、陆逊爆发力、黄盖寿命及攻击力、郭嘉存活力、周泰存活力、黄月英爆发力几个问题进行了理论分析，并给出了仿真结果和必要的讨论。

综合性的总结在第10节给出。

第11节是小组内部成员的分工情况。

3 闪电命中概率3.1 背景知识闪电是三国杀中的一类基本卡牌，玩家打出闪电牌后，闪电置于玩家前，从下一轮开始，玩家需要对闪电进行判定，若判定牌为黑桃2到黑桃9中任一张，则玩家被闪电命中，扣掉三滴血；如果没有命中，则闪电传给下一玩家，直到有玩家命中为止。

3.2 建模场景在该研究中，假设牌堆无限；场上有6个玩家，且不出现诸葛亮，司马懿，张角等能影响判定的武将；各玩家没有无懈可击抵御闪电，没有过河拆桥拆掉闪电，闪电会一直存在直到有玩家命中。

闪电的规则让每个玩家都抽一张判定牌，看似每个玩家命中的概率都一样，真的是这样吗？下面我们具体研究。

3.3 理论分析在一次判定中，闪电命中的概率为p ，未命中的概率为1p -。

从放闪电的玩家开始，依次编号为1，2，3，4，5，6。

(1,2,...6)k P k =表示各玩家被闪电命中的概率。

1P =P （第一圈命中）+ P （第二圈命中） + P （第三圈命中）……612(1)(1)...p p p p p =+-+-+61(1)p p =-- 2P =713(1)(1)(1)...p p p p p p -+-+-+6(1)1(1)p p p -=-- …… 同理，16(1)(1,2,...6)1(1)k k p p P k p --==--，由此可见，越晚判定的玩家命中的概率越小。

还可以扩大到n 个玩家的情形，1(1)(1,2,...)1(1)k k n p p P k n p --==-- 。

三国杀中黑桃2到黑桃9共有13张，故p=13/108。

3.4 仿真结果及讨论用MATLAB对该研究情形进行仿真，得到仿真结果与理论推导结果如下图所示：可见仿真结果与理论推导结果符合得很好，验证了我们的研究结果正确性。

4 司马懿对甄姬洛神技能的影响4.1 背景知识甄姬在三国杀游戏中称为“薄幸的美人”，其技能之一为洛神：回合开始阶段，可进行主动判定，若判定结果为黑色花色，视为判定成功，则将该判定牌收归手牌，并可以继续判定；若结果为红色花色，视为判定失败，技能终止。

可以不断的判定直到不愿意继续或判定的结果变为红色为止。

司马懿在三国杀游戏中称为“狼顾之鬼”，其技能之一为鬼才：在任意玩家的判定牌生效前，可用自己的一张手牌代替之。

由于司马懿可以改判定牌，因此不难想象，司马懿的存在对于甄姬的爆发力有着比较大的影响。

如果司马懿和甄姬属于盟友关系，那么一旦甄姬判定出现红色花色，司马懿可以用黑色手牌代替判定牌，使甄姬能够继续发动洛神技能，从而令甄姬的爆发力大为增强；如果司马懿和甄姬属于敌对关系，那么在甄姬第一次发动洛神技能时，司马懿可以利用红色手牌使其判定失败，从而无法获得额外的手牌。

4.2 建模场景为便于分析，本文对场景设定如下：司马懿有三张手牌，每张手牌的花色为统计独立；假定牌堆数目无限，即不考虑牌数有限的影响。

108张牌里面有红黑各一半，也就是说每次判定成功的几率是50%。

4.3 理论分析首先考虑甄姬与司马懿为盟友的情况，下面针对司马懿手中黑色手牌数进行分类讨论。

当司马懿手中无黑色手牌时，司马懿的存在对甄姬洛神技能的发动时没有影响的。

由于一旦判定失败，洛神技能终止，因此甄姬洛神实际上相当于一个几何分布，p=q=0.5，获得额外手牌的概率为：1()(1/2)1/2(1/2)n n p n +=⋅=当司马懿手中有1张黑色手牌时，一旦甄姬洛神判定失败，司马懿可以用此手牌代替之，使甄姬能够继续发动洛神技能。

实际上相当于甄姬能够发动两次洛神技能，同时司马懿的这张黑色手牌也归甄姬所有。

显然两次洛神技能的发动是相互统计独立的，故甄姬获得的额外手牌数为1加上两个几何分布。

我们知道，两个统计独立的随机变量的母函数相当于各个随机变量母函数之积。

不难知道，几何分布的母函数为：'1012()(1/2)112n n n s s s ∞+=Φ=⋅=-∑ 故甄姬额外手牌数减去1的结果的母函数为：'2201114()[()](1)142(1)2n n n s s n s s ∞=⎛⎫Φ=Φ==+ ⎪⎝⎭-∑ 所以甄姬额外获得手牌数的分布满足（需要加上司马懿的黑色手牌）：111()()42n p n n -= 当司马懿手中有两张黑色手牌时，实际上相当于甄姬能够发动三次洛神技能，而且司马懿的两张黑色手牌也归甄姬所有。

分析同上，甄姬获得额外手牌数减二的结果为三次几何分布相加的结果，其母函数为：'33011(1)(2)18()[()]1822(1)2n n n n n s s s s ∞=++⎛⎫Φ=Φ== ⎪⎝⎭-∑ 故甄姬额外获得手牌数的分布为：21(1)1()()822n n n p n --= 当司马懿手中有三张黑色手牌时，实际上相当于甄姬能够发动四次洛神技能，而且司马懿的三张黑色手牌也归甄姬所有。

分析同上，甄姬获得额外手牌数减三的结果为四次几何分布相加的结果，其母函数为：'44011(1)(2)(3)116()[()]11662(1)2n n n n n n s s s s ∞=+++⎛⎫Φ=Φ== ⎪⎝⎭-∑ 故甄姬额外获得手牌数的分布为：31(1)(2)1()()1662n n n n p n ---= 由于司马懿手牌的花色为相互统计独立的，因此： 司马懿无黑色手牌的概率为03311()28C ⋅= 司马懿有一张黑色手牌的概率为13313()28C ⋅= 司马懿有两张黑色手牌的概率为23313()28C ⋅= 司马懿有三张黑色手排的概率为33311()28C ⋅= 故甄姬额外获得手牌数的分布为：11231131131(1)111(1)(2)1()()()()()82842882281662n n n n n n n n n p n n +------=+⋅+⋅+⋅ 司马懿角色未出现或者司马懿决定不对甄姬洛神技能进行干预时，甄姬额外获得手牌数与司马懿手中无黑色手牌的情形是一致的，此处不再进行额外分析。

当司马懿与甄姬为敌对关系时，假定只要司马懿有红色手牌，一旦甄姬发动洛神，若判定牌为红色，司马懿不动作；若判定牌为黑色，则司马懿必将其改为红色牌，使甄姬技能发动失败。

为方便起见，此处不再进行理论推导。

4.4 仿真结果及讨论由4.3结论，当司马懿手中有1张黑色手牌时，甄姬额外获得手牌数的分布满足（需要加上司马懿的黑色手牌）：111()()42n p n n -= 下面给出仿真结果和理论分析对比曲线：不难发现，理论分析和实际仿真基本上完全吻合，进一步验证了我们的结论。

当司马懿手中有两张黑色手牌时，甄姬额外获得手牌数的分布为：21(1)1()()822n n n p n --= 仿真结果和理论分析曲线的比较如下：当司马懿手中有三张黑色手牌时，甄姬额外获得手牌数的分布为：31(1)(2)1()()1662n n n n p n ---= 仿真结果和理论分析曲线的比较如下：甄姬额外获得手牌数的期望值分布为：11231131131(1)111(1)(2)1()()()()()82842882281662n n n n n n n n n p n n +------=+⋅+⋅+⋅ 理论分析与仿真结果曲线对比如下：0123456789101112131415下面给出司马懿与甄姬关系为盟友、敌对、司马懿未干预三种情形下甄姬额外获得手牌数的仿真结果。