正方形角含半角模型提升
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．
例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么
例4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =
例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点
O ,90AOF ︒∠=.
求证：BE CF =.
(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点
O ,90FOH ︒∠=,4EF =.求GH 的长.
【双基训练】
1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ∆的面积为________2cm ．
(6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．
3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ∆的面积为14平方厘米，BCE ∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF 的面积是________．
4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。

分别以
AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。

求证：FN EC =。

5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△；
（2）求证：DE EF FB =+．
【纵向应用】
6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 2
1
= 7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 2
1= 8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥
9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G ,
图2
D G
A E
B C
F
13
A D E F
C G B
GH AD ⊥于点H .
（1）求证：AF DE ⊥ ；
（2）如果2AB =,求GH 的长； （3）求证：CG CD =
例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ︒∠=∠=． 求证：PBC ∆是正三角形．
例2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆
ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 例4. 如图，四边形
ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE CF =．
例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分
DCE ∠．
求证：PA PF =． 例7. 已知：P 是边长为1PC 例8. P 为正方形ABCD 3a =边长．
【双基训练】
1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．
2.如图，ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AFEC •恰是一个菱形，•则EAB ∠=________． 【纵向应用】
3.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，90AEF ︒∠=，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：BAE FEC ∠=∠； （2）证明：AGE ECF ∆≅∆； （3）求AEF ∆的面积． 【横向拓展】
4.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM . ⑴ 求证：AMB ENB ∆≅∆；
F
⑵①当M点在何处时，AM CM
+的值最小；
②当M点在何处时，AM BM CM
++的值最小，并说明理由；
⑶当AM BM CM
++的最小值为1
3+时，求正方形的边长.
E
A D
B C。