参考答案3-1. 设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数T 。

如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以10/min C ︒的速度线性变化，求温度计的误差。

解：()()98%c t c =∞⨯，41min t T ==，0.25T =；()10r t t =，()10()t Tc t t T e-=-+，()()()10()tTe t r t c t T e-=-=-，lim ()10 2.5ss t e e t T →∞===3-2．已知单位负反馈系统的开环传递函数为4()5G s s =+ 求系统的单位阶跃响应。

解：24()54s s s φ=++，1()R s s=， 21444133()()()(54)(4)(1)41C s s R s s s s s s s s s s φ=⋅===+-++++++； 414()133t t c t e e --=+-3-3. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为1()(1)G s s s =+ 求系统的上升时间r t 、峰值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。

解：2()1()1G s R s s s =++，2121n n ωωξ⎧=⎪⎨=⎪⎩，10.5n ωξ=⎧⎨=⎩，0.866d ω=，arccos 60βξ︒== 2.42r d t πβω-==s ， 3.63p dt πω==s，%100%16%eσ=⨯=，48s nt ξω==s3-4. 已知系统的单位阶跃响应:为6010()10.2 1.2t t c t e e --=+-，试求：（1）系统的闭环传递函数；（2）系统的阻尼比ξ和无阻尼自然振荡频率n ω。

解：10.2 1.2600()6010(60)(10)C s s s s s s s =+-=++++，1()R s s =， 2()600()70600C s R s s s =++，2600270n nωωξ⎧=⎪⎨=⎪⎩，24.51.43n ωξ=⎧⎨=⎩3-5. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为：()(1)KG s s Ts =+当()()r t t ε=时，系统的动态性能指标%30%σ=，0.3(5%)s t s ≤∆=，求系统K 、T 值以满足动态指标。

解：22()1()KC s K T KR s Ts s K s s T T ==++++， 30.3s nt ξω=≤，12n Tξω=，10n ξω≥，0.05T ≤%0.3eσ=≤，0.35ξ≥，28.6n ω≥，2817.96n KTω==，40.9K ≥3-6.闭环系统的特征方程如下，试用老四判据判断系统的稳定性。

（1）322091000s s s +++= （2）4328181650s s s s ++++= 解：（1）322091000s s s +++= 列劳斯表如下： 321019201004100s s s s系统稳定（2）4328181650s s s s ++++= 列劳斯表如下： 43211185816165216165s s s s s系统稳定 3-7.已知单位负反馈系统的开环传递函数为()(4)(10)KG s s s s =++ （1）试确定系统稳定时的K 值范围；（2）确定使闭环极点的实部不大于-1的K 值范围。

解：（1）系统的闭环传递函数为32()1440Ks s s s Kφ=+++特征方程为：3214400s s s K +++= 列劳斯表如下：3211401456014s s KK s s K-若使系统稳定，则有5600,014KK ->>，所以0560K <<。

（2）令'1s s =-，代入()(4)(10)KG s s s s =++得：(')('1)('3)('9)KG s s s s =-++闭环传递函数为：32(')'11'15'27Ks s s s Kφ=++-+特征方程为： 32'11'15'270s s s K ++-+= 列劳斯表如下： 32111511271921127s s KKs s K-+--+ 若使系统稳定，则有1920,(27)011KK ->-+>，所以27192K <<。

3-8.已知系统的结构如题图3.1所示，试问τ取值多少，系统才能稳定？题图3.1解：22110(1)10(1)()10(10)s s G s s s s s s s s ττ++==++++32210(1)()101010s s s s s s φτ+=++++ 列劳斯表如下：321310110(110)1010s s s b s τ+若使系统稳定，3110(110)100110b ττ+-=>+，即0τ>。

3-9.已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。

试求各系统的静态位置误差系数p K 、速度误差系数v K 和加速度误差系数a K ，并确定当输入信号为()()r t t ε=，2t ，2t 和212t t ++时系统的稳态误差ss e 。

（1）20()(0.11)(0.21)G s s s =++；（2）200()(2)(10)G s s s s =++；（3）2210(21)()(410)s G s s s s +=++；（4）2()(4200)KG s s s s =++ 解：（1）20()(0.11)(0.21)G s s s =++010202301lim ()()201210,lim ()()0lim ()()0ss p s v ss s ss a s R e K G s H s K K sG s H s e e K s G s H s ν→→→⎧====+⎪⎪====∞⎨⎪=∞==⎪⎩，所以ss e =∞ （2）2002()(2)(10)(0.51)(0.11)G s s s s s s s ==++++ 100202300lim ()()1,lim ()()100.2lim ()()0ss p s v ss s a ss s e K G s H s vK sG s H s e K K s G s H s e ν→→→=⎧==∞⎪⎪=====⎨⎪===∞⎪⎩，所以ss e =∞（3）222210(21)(21)()(410)(0.10.41)s s G s s s s s s s ++==++++ 01202030lim ()()02,lim ()()0lim ()()12p s ss v ss s a ss s aK G s H s e K sG s H s e aK s G s H s e K ν→→→⎧==∞=⎪⎪===∞=⎨⎪==⎪==⎩，所以2ss e = （4）2()(4200)KG s s s s =++ 闭环传递函数为：32()4200Ks s s s Kφ=+++特征方程为：3242000s s s K +++= 列劳斯表如下： 321120048004s s KK s s K-系统稳定的条件为：0800K <<22200()(4200)(0.0050.021)KK G s s s s s s s ==++++ 01020230lim ()()04002,lim ()()200lim ()()0p s ss v ss s a a ss s K G s H s e v K K sG s H s e K K K s G s H s e ν→→→==∞⎧=⎪⎪=====⎨⎪==⎪=∞⎩，所以ss e =∞ 3-10．已知系统的结构图如题图3.2所示，若使系统满足阻尼比0.7ξ=和单位斜坡函数输入时稳态误差ss e =0.25，试确定参数K 和τ的取值。

题图3.2解：22()12(1)2KK K G s s s K s s s K τττ+==++++，所以2()(2)K s s K s K φτ=+++ 222n nK K ωωξτ⎧=⎪⎨=+⎪⎩又因为20.25ss K e K τ+== 解之得：31.6,0.186K τ==3-11.已知系统的结构图如题图3.3所示，其中()()r t t ε=，1()()d t t ε=，2()()d t t ε=。

试求：（1）在()r t 作用下系统的稳态误差；（2）在1()d t 和2()d t 同时作用下系统的稳态误差； （3）在1()d t 作用下，且()p K G s K s =+和1()F s Js=时，系统的稳态误差。

题图3.3解：（1）在()r t 作用下系统的稳态误差011lim 1()()1(0)(0)ssrs s e s G s F s G F →=⋅=++（2）212()()()()1()()()d G s H s E d D s G s G s H s -=⋅+0()11[1()]lim 1()()1()()1(0)(0)ssd s F s F s e s G s F s G s F s s G F →⎡⎤---+=⋅+⋅=⎢⎥+++⎣⎦（3）1(),()p K G s K F s s Js=+= 001()11lim lim 011()()1()ssds s pF s Js e s s KG s F s s sK s Js→→--=⋅⋅=⋅⋅=+++⋅。