5 答案
4
三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分)
1
1
2
17
fx
∫ ∫ ∫ 10．若 f(x)是一次函数，且 f(x)dx＝5， xf(x)dx＝ ，求
6
x
0
0
1
dx 的值．
解 ∵f(x)是一次函数，∴设 f(x)＝ax＋b(a≠0)．
1
1
1
∫ ( ) 由 (ax＋b)dx＝5，得 ax2＋bx |10＝ a＋b＝5.①
0
0
1
2
∫ ∫ 解析 面积 S＝ (1－x2)dx＋ (x2－1)dx
0
1
2
2
∫ ＝ |x2－1|dx，故选 C. 0
答案 C 4．(2012·湖北卷)已知二次函数 y＝f(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为( )
2π
4
A.
B.
5
3
3
π
C.
D.
2
2
解析
答案 B
5．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情
1
x2 x3 1 1 1
∫ ( ) S＝ (x－x2)dx＝ － |10＝ － ＝ . 2 3 236 0
又可得抛物线 y＝x－x2 与 y＝kx 两交点的横坐标为 x′1＝0，x′2
＝1－k，
所以S＝∫1－0 k(x－x2－kx)dx 2
1－k x3
( ) ＝
x2－ |1－0 k
2
3
＝1(1－k)3. 6
B．S2<S1<S3 D．S3<S2<S1
解析 本题考查微积分基本定理．
2
∫ S1＝ x2dx＝x3|21＝7. 33 1
2
1
∫ S2＝ dx＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2.＝e2－e＝e(e－1)． 1
令 e＝2.7，∴S3>3>S1>S2.故选 B. 答案 B
T
x3 T3
∫ 解析 ∵ x2dx＝ |T0＝ ＝9，∴T＝3. 33 0
答案 3
1
∫ 8．(2014·厦门市质检)计算： (x2＋ 1－x2)dx＝______. 0
1
1
1
x3 1 1 π
∫ ∫ ∫ 解析 (x2＋ 1－x2)dx＝ x2dx＋ 1－x2dx＝ 10＋ π＝ ＋ .
3 4 34
0
又知 S＝1，所以(1－k)3＝1.
6
2
1
34
于是 k＝1－ 3 ＝1－ .
2
2
12．设函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx 在点 x＝1 处有极值－2.
7
(1)求常数 a，b 的值； (2)求曲线 y＝f(x)与 x 轴所围成的图形的面积． 解 (1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且 f′(1)＝0， 即Error!解得Error! (2)由(1)可知，f(x)＝x3－3x. 作出曲线 y＝x3－3x 的草图如图，
所求面积为阴影部分的面积，由 x3－3x＝0 得曲线 y＝x3－3x 与 x 轴的交点坐标是(－ 3，0)，(0,0)和( 3，0)，而 y＝x3－3x 是 R 上的 奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．
所以所求图形的面积为
8
“
”
“
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
0
0
25
( ) 7－3t＋ dt＝ 1＋t
[ ] 3
7t－ t2＋25ln1＋t
|40＝7×4－3×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选
2
2
C.
答案 C
6．(2014·武汉调研)如图，设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形
1 区域，E 是 D 内位于函数 y＝ (x＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从 D
第十四节 定积分与微积分基本定理(理)
时间：45 分钟 分值：75 分
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
2
2
2
1
∫ ∫ ∫ 1．(2013·江西卷)若 S1＝ x2dx，S2＝ dx，S3＝ exdx，则 S1，S2，
x
1
1
1
S3 的大小关系为( )
A．S1<S2<S3 C．S2<S3<S1
况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋ 25 (t 的单位：s，v 的单位：m/s)行 1＋t
驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln5 C．4＋25ln5
B．8＋25ln11 3
D．4＋50ln2
3
解析 令 v(t)＝0,7－3t＋ 25 ＝0 1＋t
4
4
∫ ∫ ∴3t2－4t－32＝0，∴t＝4，则汽车行驶的距离为 v(t)dt＝
A．3 C．3.5 解析
B．4 D．4.5
1
答案 C 3．如图所示，图中曲线方程为 y＝x2－1，用定积分表达围成封 闭图形(阴影部分)的面积是( )
2
| | ∫ A. x2－1dx 0 2
∫B. (x2－1)dx 0
2
∫C. |x2－1|dx 0
1
2
∫ ∫ D. (x2－1)dx＋ (x2－1)dx
x
1
x
1
x
1
＝(4x＋3lnx)|21＝8＋3ln2－4
＝4＋3ln2.
11．(2013·日照调研)如图，直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x2 与 x 轴
所围图形为面积相等的两部分，求 k 的值．
解 抛物线 y＝x－x2 与 x 轴两交点的横坐标 x1＝0，x2＝1，
所以抛物线与 x 轴所围图形的面积
2
2
0
1
1
17
17
∫ ∫ 由 xf(x)dx＝ ，得 (ax2＋bx)dx＝ .
6
6
0
0
11
17
( ) 即 ax3＋ bx2 |10＝ .
32
6
1 1 17 ∴ a＋ b＝ .②
32 6
解①②，得 a＝4，b＝3.∴f(x)＝4x＋3.
6
2
2
2
fx
4x＋3
3
∫ ∫ ∫ 于是
dx＝
dx＝ (4＋ )dx
0
0
答案 1＋π 34
1
( ) 9．已知函数 y＝f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A(0,0)、B ，5 、 2 C(1,0)．函数 y＝xf(x)(0≤x≤1)的图
象与 x 轴围成的图形的面积为________．
5
解析 设直线为 y＝kx＋b，代入 A，B 两点，得 y＝10x. 代入 B，C 两点，则Error!∴k＝－10，b＝10. ∴f(x)＝Error! ∴y＝xf(x)＝Error!
x
内随机取一个点 M，则点 M 取自 E 内的概率为( )
ln2 A.
2 1＋ln2 C.
2
1－ln2 B.
2 2－ln2 D.
2
解析
4
答案 C
二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
T
∫ 7．(2013·湖南卷)若 x2dx＝9，则常数 T 的值为________． 0