注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A

v C
v B
在直角坐标系中：
vvv
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
•面元：
v dS1

h2h3du2du3aˆu1
v dS2 h1h3du1du3aˆu2
v dS3 h1h2du1du2aˆu3
•体元： dV h1h2h3du1du2du3
电磁场与电磁波
四、标量场的梯度
1. 标量场的等值面 以温度场为例：
第1章 矢量分析
等温面
热源
可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力
v F
、速度
vv
、电场
v E
等
vv 矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
即：
h1 h2 h3 1
b. 在柱坐标系中，坐标变量为(r,, z), 其中 为角度，
其对应的线元 rdav ，可见拉梅系数为：
h1 1, h2 r, h3 1
c. 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，其中, 均为
角度，其拉梅系数为：
h1 1, h2 R, h3 R sin
dRavR

Rd av

Rsindav
面元：
v dSR

R2
sin d davR
v dS

R sin dRdav
v dS

RdRd av
体元：
dV R2 sin dRd d
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
注意：
a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1，
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2. 标量场的梯度 标量场的场函数为 (x, y, z,t)
a.方向导数： d 空间变化率，称为方向导数。
dl
d
dn 为最大的方向导数。
P1
dnv
P2
v
dl
P 0
0 d
b.梯度
定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，
其方向为该点所在等值面的法线方向。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
vv kA k | A | aˆ
k 0 方向不变，大小为|k|倍

k

0


k

0
方向相反，大小为|k|倍

（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）： vv v v A B | A| | B | cos
Cx Cy Cz
Cx Cy Cz
b.矢量三重积：
v v v vv v vv v A(BC) B(AC) C(A B)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例2：设 rv1 2aˆx aˆy aˆz , rv2 aˆx 3aˆy 2aˆz rv3 2aˆx aˆy 3aˆz , rv4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
线元：
v dl

dravr

rdav

dzavz
面元：
v
dSvr dSv
dSz



rddzavr drdzav rddravz
体元： dV rdrddz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，如图，做一微分体元。
线元：
v dl

电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量 (u1,u2,u3)不一定都是 长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅
系数，若已知其拉梅系数 h1, h2, h3，就可正确写出其线元、
面元和体元。
v •线元： dl h1du1aˆu1 h2du2aˆu2 h3du3aˆu3
求： rv4 arv1 brv2 crv3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
6aˆx
y
图示法：
6aˆx
x
力的图示法：
v
F
v
FN
v
Ff
vv v F FN Ff
v G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
v
v
B
C
v vv C AB

v C
v B
v A
v A
a.满足交换律：
vv vv AB B A
逆矢量：Bv 和
v (B)
的模相等，方向相反，互为逆矢量。
v
vv
D
v
A
AD
v
v
v
B
B
B
v
v C
Bv v v
v
ABC 0
A
推论：
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
vv A B (Ax Bx )aˆx (Ay By )aˆy (Az Bz ) aˆz
解：已知
vv A B
所得矢量垂直于
v A
、Bv
ห้องสมุดไป่ตู้所在平面。
vv
aˆn

Av Bv A B
v v aˆx aˆy aˆz A B 2 6 3 15aˆx 10aˆy 30aˆz
4 3 1
vv | A B | 152 (10)2 302 35
aˆn


1 7
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
vvv A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2.减法：换成加法运算
v vvv v
D A B A (B)
单位矢量： v
aˆ

|
Av A
|

Avx | A|
aˆx

Avy | A|
aˆ y

Avz |A
|
aˆz
cos aˆx cos aˆy cos aˆz 方向角与方向余弦： , ,
z
v Az
v A

v
v Ax
o


Ay
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
数学表达式：
grad

d
dn
aˆn
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
d
计算：

d

dn
dl dn dl
d cos
dn

d
dn
b.满足结合律：
(
v A

v B)

v (C

v D)

v (A
v C)

v (B

v D)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆx , aˆy , aˆz 表示。
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
aˆc
vv v v
B
A B | A | | B | sin aˆc

•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
(3aˆx

2aˆ y

6aˆz )
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例4：
已知A点和B点对于原点的位置矢量为
av
和
v b
，
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，