现代数字信号处理实验报告1、估计随机信号的样本自相关序列。

先以白噪声()x n 为例。

(a) 产生零均值单位方差高斯白噪声的1000个样点。

(b) 用公式：9991ˆ()()()1000x n r k x n x n k ==-∑估计()x n 的前100个自相关序列值。

与真实的自相关序列()()x r k k δ=相比较，讨论你的估计的精确性。

(c) 将样本数据分成10段，每段100个样点，将所有子段的样本自相关的平均值作为()x n 自相关的估值，即：999001ˆ()(100)(100) , 0,1,...,991000x m n r k x n m x n k m k ===+-+=∑∑与(b)的结果相比，该估计值有什么变化？它更接近真实自相关序列()()x r k k δ=吗？(d) 再将1000点的白噪声()x n 通过滤波器11()10.9H z z -=-产生1000点的y (n )，试重复(b)的工作，估计y (n )的前100个自相关序列值，并与真实的自相关序列()y r k 相比较，讨论你的估计的精确性。

仿真结果：(a)图1.1 零均值单位方差高斯白噪声的1000个样本点分析图1.1：这1000个样本点是均值近似为0，方差为1的高斯白噪声。

(b)图1.2 ()x n的前100个自相关序列值分析上图可知：当k=0时取得峰值，且峰值大小比较接近于1，而当k≠0时估计的自相关值在0附近有小幅度的波动，这与真实自相关序列r(k)=δ(k)x比较接近，k≠0时估计值非常接近0，说明了估计的结果是比较精确的。

(c)图1.3基于Bartlett 法的前100个自相关序列值与(b)的结果相比，同样在k=0时达到峰值，k ≠0时0值附近上下波动；估计值的方差比较小，随着k 的增大波动幅度逐渐变小，在k 较大时它更接近真实自相关序列()()x r k k δ=。

即采用分段方法得到的自相关序列的估计值更加接近r x (k)=δ(k)。

分析仿真图也可以看出：将样本数据分段，将所有子段的样本自相关的平均值作为()x n 自相关的估值时，可以有效的降低自相关估计的方差，而分段样本估计的优点在于，估计自相关序列与实际自相关序列的方差减小，且当分段数越大，估计值越趋向于无偏估计。

(d)图1.4 y(n)的前100个自相关序列值与真实值的对比从图中可以看出在k=0时估计与真实的自相关序列之间有较小的误差，随着k的增大，估计得到的值有较大的波动，存在一定误差。

源程序clcclear%%产生1000个高斯白噪声的样本点x=randn(1,1000);K=1000;figure(1);k=0:K-1;stem(k,x,'.'); %绘制1000个高斯白噪声title('零均值单位方差高斯宝噪声，1000个样本点');xlabel('k');ylabel('x[k]');mean_x=mean(x)var_x=var(x)%%for k=0:99for n=k+1:1000y_ess(n)=x(n)*x(n-k);endr_ess(k+1)=sum(y_ess)/1000;endfigure(2);k=[0:99];stem(k,r_ess,'.');title('根据样本点估计出的前100自相关序列值');xlabel('k');ylabel('r_ess[k]');hold on;realvalue=[1,zeros(1,99)];stem(k,realvalue,'r','.');legend('根据样本点估计出的前100自相关序列值','真实的自相关序列');error1=r_ess-realvalue;mean_error_b=mean(error1)var_error_b=var(error1)%%for k=0:99for m=0:9for n=k+1:100y_ess2(m+1,n)=x(n+100*m)*x(n-k+100*m);endendr_ess2(k+1)=sum(sum(y_ess2))/1000;endfigure(3);k=0:99;stem(k,r_ess2,'b.');hold on;realvalue2=[1,zeros(1,99)];stem(k,realvalue2,'r.','.');title('Bartlett法估计功率谱方法得出的前100个自相关序列值');xlabel('k');ylabel('r_ess2[k]');legend('Bartlett法估计功率谱方法得出的前100个自相关序列值','真实的自相关序列');error2=r_ess2-realvalue2;mean_error_c=mean(error2)var_error_c=var(error2)%%y=zeros(1,1000);B=[1]; A=[1,-0.9];y=filter(B,A,x);r_ess3=zeros(1,100); for k=0:99for n=(k+1):1000r_ess3(k+1)=r_ess3(k+1)+y(n)*y(n-k); endr_ess3(k+1)=r_ess3(k+1)/1000; endfigure(4);stem(r_ess3,'.');title('y[n]前100个自相关序列估计值'); xlabel('k'),ylabel('r_ess3(k)'); hold on;p=[1,zeros(1,99)]; h=filter(B,A,p); for i=1:100h1(i)=h(101-i); endrh=conv(h,h1); rh=rh(100:199);realvalue3=conv(p,rh);realvalue3=realvalue3(1:100); stem(realvalue3,'r.','.');legend('y[n]前100个自相关序列估计值','y[n]的真实自相关序列');2、计算机练习2：AR 过程的线性建模与功率谱估计。

考虑AR 过程：()(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(0)()x n a x n a x n a x n a x n b v n =-+-+-+-+()v n 是单位方差白噪声。

(a) 取b (0)=1, a (1)=0.-7348, a (2)=-1.8820, a (3)=-0.7057, a (4)=-0.8851，产生x (n )的N =256个样点。

(b) 计算其自相关序列的估计ˆ()x rk ，并与真实的自相关序列值相比较。

(c) 将ˆ()x rk 的DTFT 作为x (n )的功率谱估计，即： 1211ˆˆ()()|()|N j jk j xx k N P e rk e X e Nωωω--=-+==∑。

(d) 利用所估计的自相关值和Yule-Walker 法(自相关法)，估计(1), (2), (3), (4)a a a a 和(0)b 的值，并讨论估计的精度。

(e) 用(d)中所估计的()a k 和(0)b 来估计功率谱为：2241|(0)|ˆ()1()j xjk k b P e a k e ωω-==+∑。

(f) 将(c)和(e)的两种功率谱估计与实际的功率谱进行比较，画出它们的重叠波形。

(g) 重复上面的(d)~(f)，只是估计AR 参数分别采用如下方法：(1) 协方差法；(2) Burg 方法；(3) 修正协方差法。

试比较它们的功率谱估计精度。

仿真结果： （a ）图2.1 x (n )的N =256个样点（b ）图2.2自相关序列的估计值与真实的对比图2.2中估计的自相关序列与真实的自相关序列差异较大；在k>100后，真实的自相关序列就波动得很小，而估计的自相关序列则仍有较大的波动，但总体上来言两者都随着k的增大而逐渐衰减，当k>150时，真实自相关序列逐渐趋于0，而估计出的自相关序列却仍有较大的波动，这是因为估计的点数较少，使得估计精度不够。

（c）图2.3 估计的功率谱与真实功率谱对比（d）Yule-Walker法(自相关法)估计的参数值为：b(0)= 1.1537[a(1) a(2) a(3) a(4)]=[-0.7174 -1.7952 -0.6387 -0.8167]图2.4 Yule-Walker法估计的功率谱与真实功率谱对比Yule-Walker法(自相关法)估计的参数，其系数的符号正确，但数值大小相差较大，并且多次实验的相差值也很大，参数估计的精度远远不够。

因此从图2.4中也能看出，该方法得到功率谱与真实的谱相差很大（e）协方差法图2.5 协方差法估计的功率谱与真实功率谱对比采用协方差法估计的参数，其系数与真实的系数非常接近，该方法能够较精确的估计出功率谱。

（f）修正协方差图2.6 修正的协方差法估计的功率谱与真实功率谱对比采用修正的协方差法估计的参数，其系数虽然没有协方差法和burg法那么精确，但是估计误差也很小。

从图2.6中也能看出，该方法能够较精确的估计出功率谱。

（g）Burg算法图2.7 burg法估计的功率谱与真实功率谱对比采用burg估计的参数，其系数几乎等于真实的系数，分析图2.7中也能看出，该方法非常精确的估计出功率谱，几乎与真实的功率谱曲线重合。

源程序：clc;clear;N=256;NN=20000;v1=normrnd(0,1,50,NN);v=v1(:,1:N);r=zeros(1,N);r1=zeros(1,N);w=0:2*pi/100:2*pi;P=zeros(1,length(w));PP1=zeros(1,length(w));PP2=zeros(1,length(w));PP3=zeros(1,length(w));PP4=zeros(1,length(w));for s=1:50x1=filter([1],[1,0.7348,1.8820,0.7057,0.8851],v1(s,:)); x=x1(1:N);for k=1:Nrx(k)=0;for n=k:Nrx(k)=rx(k)+x(n)*x(n-(k-1));endrx(k)=rx(k)/(N);endr=r+rx;for k=1:Nrx1(k)=0;for n=k:NNrx1(k)=rx1(k)+x1(n)*x1(n-(k-1));endrx1(k)=rx1(k)/(NN);endr1=r1+rx1;for i=1:length(w)P(i)=P(i)+rx(1);for n=2:NP(i)=P(i)+rx(n)*exp(-j*(n-1)*w(i))+rx(n)*exp(j*(n-1)*w(i)); endendA=toeplitz(rx(1:4)',rx(1:4));B=-rx(2:5)';Ap=A\B;b0=rx(1);for i=1:4b0=b0+Ap(i)*rx(i+1);endb0=sqrt(b0);for i=1:length(w)P1(i)=1;for k=1:4P1(i)=P1(i)+Ap(k)*exp(-j*k*w(i));endP1(i)=b0^2/abs(P1(i))^2;endPP1=PP1+P1;A=[];for k=1:4c=[];for l=1:4rr=0;for n=5:Nrr=rr+x(n-l)*x(n-k);endc=[c;rr];endA=[A c];endB=[];for l=1:4rr=0;for n=5:Nrr=rr+x(n-l)*x(n);endB=[B;rr];endB=B*(-1);Ap=A\B;for i=1:length(w)P2(i)=1;for k=1:4P2(i)=P2(i)+Ap(k)*exp(-j*k*w(i));endP2(i)=x(1)^2/abs(P2(i))^2;endPP2=PP2+P2;A=[];for k=1:4c=[];for l=1:4rr=0;for n=5:Nrr=rr+x(n-l)*x(n-k)+x(n-4+l)*x(n-4+k); endc=[c;rr];endA=[A c];endB=[];for l=1:4rr=0;for n=5:Nrr=rr+x(n-l)*x(n)+x(n-4+l)*x(n-4);endB=[B;rr];endB=B*(-1);Ap=A\B;for i=1:length(w)P3(i)=1;for k=1:4P3(i)=P3(i)+Ap(k)*exp(-j*k*w(i));endP3(i)=x(1)^2/abs(P3(i))^2;endPP3=PP3+P3;p=4;ef=zeros(1+p,N);eb=zeros(1+p,N);ef(1,:)=x;eb(1,:)=x;km=[];for m=2:p+1mol=0;den=0;for n=m:Nmol=mol+(-2)*ef(m-1,n)*eb(m-1,n-1);den=den+(ef(m-1,n))^2+(eb(m-1,n-1))^2; endkm(m-1)=mol/den;for n=m:Nef(m,n)=ef(m-1,n)+km(m-1)*eb(m-1,n-1); eb(m,n)=eb(m-1,n-1)+km(m-1)*ef(m-1,n); endendaa=[1];for i=1:4aa=[aa;0];bb=aa(length(aa):-1:1);aa=aa+bb*km(i);endfor i=1:length(w)P4(i)=1;for k=2:5P4(i)=P4(i)+aa(k)*exp(-j*(k-1)*w(i));endP4(i)=1/abs(P4(i))^2;endPP4=PP4+P4;endfigure(1)stem(1:N,x,'.');title('x[n]的256个样本点');xlabel('n');ylabel('x[n]');figure(2)plot(0:N-1,r/50); hold on;plot(0:N-1,r1/50,'r');title('x[n]的256个样本点估计出的前256个自相关序列和真实值'); ylabel('Rx(k)');xlabel('k');legend('估计值','真实值');grid on;axis([0 256 -40 40]);hold off;figure(3)plot(w/pi,10*log10(P/50)); hold on;title('功率谱估计');ylabel('P(dB)');xlabel('w/pi');plot(w/pi,10*log10(PP1/50),'r');plot(w/pi,10*log10(PP2/50),'g');plot(w/pi,10*log10(PP3/50),'y');plot(w/pi,10*log10(PP4/50),'k');aap=[0.7348,1.8820,0.7057,0.8851];for i=1:length(w)P5(i)=1;for k=1:4P5(i)=P5(i)+aap(k)*exp(-j*k*w(i)); endP5(i)=1/abs(P5(i))^2;endplot(w/pi,10*log10(P5),':');legend('Rx(k)的DTFT','Yule-Walker');grid on;hold off;figure(4)plot(w/pi,10*log10(P/50)); hold on;title('功率谱估计比较');ylabel('P(dB)');xlabel('w/pi');plot(w/pi,10*log10(P5),'r');legend('Rx(k)的DTFT','真实频谱');grid on;hold off;figure(5)plot(w/pi,10*log10(PP1/50)); hold on;title('Yule-Walker法功率谱估计比较'); ylabel('P(dB)');xlabel('w/pi');plot(w/pi,10*log10(P5),'r');legend('Yule-Walke法','真实频谱');grid on;hold off;figure(6)plot(w/pi,10*log10(PP2/50)); hold on;title('协方差法功率谱估计比较');ylabel('P(dB)');xlabel('w/pi');plot(w/pi,10*log10(P5),'r');legend('协方差法','真实频谱');grid on;hold off;figure(7)plot(w/pi,10*log10(PP3/50)); hold on;title('修正协方差法功率谱估计比较');ylabel('P(dB)');xlabel('w/pi');plot(w/pi,10*log10(P5),'r');legend('修正协方差法','真实频谱');grid on;hold off;figure(8)plot(w/pi,10*log10(PP4/50)); hold on;title('Burg 法功率谱估计比较');ylabel('P(dB)');xlabel('w/pi');plot(w/pi,10*log10(P5),'r');legend('Burg 法','真实谱');grid on;hold off;3、计算机练习3：维纳噪声抑制(例6.6的扩展实验)。