第六节 二项分布与正态分布突破点一 事件的相互独立性及条件概率[基本知识]1．条件概率定义设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P ABP A为在事件A 发生的条件下，事件B发生的条件概率性质①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )2.事件的相互独立性定义设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立性质①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (A )P (B )；②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( )(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( ) (3)相互独立事件就是互斥事件．( )(4)在条件概率中，一定有P (AB )＝P (B |A )P (A )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、填空题1．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.答案：142．抛掷两枚质地均匀的硬币，A ＝{第一枚为正面向上}，B ＝{第二枚为正面向上}，则事件C ＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为________．答案：123．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．答案：0.72[全析考法]考法一 条件概率[例1] (1)(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29 B.13 C.49D.59(2)(2019·信丰联考)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.79[解析] (1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 44＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24， ∴P (A |B )＝n AB n B ＝24108＝29.(2)设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”， 则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P ABP A ＝730310＝79.[答案] (1)A (2)D[方法技巧] 条件概率的3种求法定义法先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P ABP A求P (B |A )基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简考法二 事件的相互独立性[例2] (2019·洛阳模拟)在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为12，“三步上篮”的命中率为34，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响．(1)求小明同学一次测试合格的概率；(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．[解] (1)设小明第i 次“立定投篮”命中为事件A i ，第i 次“三步上篮”命中为事件B i (i ＝1,2)，依题意有P (A i )＝12，P (B i )＝34(i ＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C .(1)P (C －)＝P (A －1 A －2)＋P (A －1 A 2 B －1 B －2)＋P (A 1B －1 B －2) ＝P (A －1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)P (B －1)P (B －2)＋P (A 1)·P (B －1)P (B －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝1964. ∴P (C )＝1－1964＝4564.(2)依题意知ξ＝2,3,4，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＋P (A －1A －2)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A －1)P (A －2)＝58，P (ξ＝3)＝P (A 1B －1B 2)＋P (A －1A 2B 1)＋P (A 1B －1B －2)＝P (A 1)P (B －1)P (B 2)＋P (A －1)P (A 2)P (B 1)＋P (A 1)·P (B －1)P (B －2)＝516，P (ξ＝4)＝P (A －1A 2B －1)＝P (A －1)P (A 2)P (B －1)＝116.故投篮的次数ξ的分布列为：ξ 2 3 4P58 516 116[方法技巧]相互独立事件同时发生的概率的2种求法(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式． (2)间接法：从对立事件入手计算．[集训冲关]1.[考法一]已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127 B.1124 C.827D.924解析：选C 设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B .由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为827.2.[考法二]为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )A.12 B.13 C.14D.16解析：选D 记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.3.[考法二]为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拔赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单．现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响．若甲获第一名且乙获第三名的概率为110.(1)求p 的值；(2)设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为110.即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为110，∴35×14×(1－p )＝110，∴p ＝13.(2)依题意，丙得分X 的所有取值为0,3,6. ∵丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23，∴P (X ＝0)＝14×13＝112，P (X ＝3)＝34×13＋14×23＝512，P (X ＝6)＝34×23＝12，∴X 的分布列为P0 3 6X112 512 12∴E (X )＝0×112＋3×512＋6×12＝174.突破点二 独立重复试验与二项分布[基本知识]1．独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．2．二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.( )(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( )(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( )答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于________．答案：5162．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．答案：5163．若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为________． 答案：3×2－10[全析考法]考法一 独立重复试验的概率[例1] (1)如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )A.23B.12C.34D.14(2)投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p ，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则p 的取值范围为________．[解析] (1)设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝ C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝3×18＋18＝12.故选B.(2)设P (B k )(k ＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉，出现k 次钉尖向上”的概率，由题意得P (B 2)＜P (B 3)，即C 23p 2(1－p )＜C 33p 3.∴3p 2(1－p )＜p 3.由于0＜p ＜1，∴34＜p ＜1.[答案] (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 [方法技巧]n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次可看作是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k 个A 事件与n －k 个A －事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k(1－p )n －k.因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k.考法二 二项分布的应用[例2] (2019·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．[解] (1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率组距也成等差数列，设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5×(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米． 应规定w ＝2.5＋0.10.15×0.5≈2.83.(3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P (A ≤2.5)＝0.7， 由题意，X ～B (3,0.7)，P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027， P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189， P (X ＝2)＝C 23×0.3×0.72＝0.441， P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343.∴X 的分布列为X0 1 2 3P0.027 0.189 0.441 0.343∴E (X )＝np ＝2.1. [方法技巧]某随机变量是否服从二项分布的特点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．[集训冲关]1.[考法一]将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫P ≥1516，则n 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选A 由P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥1516，解得n ≥4，即n 的最小值为4.2.[考法二]若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )A.125729B.80243C.665729D.100243解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫590×⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝665729，故选C.3.[考法二]一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列及数学期望．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X ～B (3,0.6)，X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.故X 的分布列为X0 12 3P0.064 0.288 0.432 0.216E (X )＝3×0.6＝1.8.突破点三 正态分布[基本知识]1．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x )＝1σ2πe－x －μ2σ2，x ∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定：⎩⎪⎨⎪⎧σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.2．正态分布定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N(μ，σ2)三个常用数据①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P (μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P (μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当x 无穷大时，正态曲线可以与x 轴相交．( ) (2)正态曲线与x 轴之间的面积大小不确定．( )(3)X 服从正态分布，通常用X ～N(μ，σ2)表示，其中参数μ和σ2分别表示X 的均值和方差．( )答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18π·e－－8，则这个正态总体的平均数与标准差分别是________．答案：10 22．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，其中P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4.设ξ～N (1，σ2)，且P (ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝________.答案：23．(2019·广州模拟)按照国家规定，某种大米每袋质量(单位：kg)必须服从正态分布ξ～N (10，σ2)，根据检测结果可知P (9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工人数大约为________．解析：∵每袋大米质量服从正态分布ξ～N (10，σ2)，∴P (ξ＜9.9)＝12[1－P (9.9≤ξ≤10.1)]＝0.02，∴分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工人数大约为2 000×0.02＝40.答案：40[典例] (2019·石家庄模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95； 若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.[解] (1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x －＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P (14.55＜Z ＜38.45)＝P (26.5－11.95＜Z ＜26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6. ②根据题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116；P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14；P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38；P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14；P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116. ∴X 的分布列为X0 1 2 3 4P116 14 38 14 116∴E (X )＝4×12＝2.[方法技巧]求正态总体在某个区间内取值概率的关键点(1)熟记P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )，P (X ≤μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． [针对训练]1．(2019·正阳模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( )A ．0.682 6B ．0.341 3C ．0.460 3D ．0.920 7解析：选A ∵随机变量X 服从正态分布N (3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x ＝3，∵P (X ≥4)＝0.158 7，∴P (2＜X ＜4)＝1－2P (X ≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故选A.2．(2018·湘潭二模)某校高三年级有1 000人，某次数学考试不同成绩段的人数ξ～N (127,72)．(1)求该校此次数学考试平均成绩； (2)计算得分超过141的人数；(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是14，若本学期有4次考试，X 表示进入前100名的次数，写出X 的分布列，并求期望与方差．(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.44%)解：(1)由不同成绩段的人数ξ服从正态分布N (127,72)，可知平均成绩为μ＝127. (2)P (ξ＞141)＝P (ξ＞127＋2×7)＝12×[1－P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)]＝0.022 8，故得分超过141分的人数为1 000×0.022 8≈23.(3)由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14， 故X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256， P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764， P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128， P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫341＝364， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256， 故X 的分布列为X0 1 2 3 4P81256 2764 27128 364 1256期望E (X )＝np ＝4×14＝1，方差D (X )＝np (1－p )＝4×14×34＝34.。