鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题1（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O为圆心，且OA＝AB＝BC ＝CD＝5，那么周长是接近100的圆是（）A．OA为半径的圆B．OB为半径的圆C．OC为半径的圆D．OD为半径的圆2．我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车作向前的直线运动，又以车轴为圆心作圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线．其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线．你认为呢？摆线（Cycloid）：当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线．定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称为摆点：现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币作无滑动的滚动，那么：（1）当右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状？（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向还是向下？（3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？（）A．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；1圈B．一条摆线；向上；1圈C．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈D．一条摆线；向下；2圈3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么与的关系是（）A．B．C．D．不能确定4．有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．6．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（）A．2B．C．3D．7．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C+∠O＝63°，则∠O的度数是（）A．21°B．27°C．30°D．42°8．如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠D＝34°，则∠BOC的度数为（）A．102°B．112°C．122°D．132°9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（）A．45°B．90°C．135°D．150°10．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定二．填空题（共10小题）11．如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点．12．如图甲，圆的一条弦将圆分成2部分；如图乙，圆的两条弦将圆分成4部分；如图丙，圆的三条弦将圆分成7部分．由此推测，圆的四条弦最多可将圆分成部分；圆的十九条弦最多可将圆分成部分．13．如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是（填序号）．14．如图，多边形ABDEC是由边长为m的等边△ABC和正方形BDEC组成，⊙O过A、D、E三点，则∠ACO＝．15．如图，⊙O的弦AB＝8，C是AB的中点，OC＝3，则⊙O的半径为．16．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升cm．17．菱形ABCD中，∠A＝40°，点P在以A为圆心，对角线BD长为半径的圆上，且BP ＝BA，则∠PBD的度数为．18．如图，⊙O的两条直径分别为AB、CD，弦CE∥AB，∠COE＝40°，则∠BOD＝°．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝130°，则∠AOC的大小为度．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，P是矩形内部一动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP的最小值是．三．解答题（共8小题）21．如图，大半圆中有n个小半圆，大半圆弧长为L1，n个小半圆的弧长和为L2，找出L1和L2的关系并证明你的结论．（友情提示：利用弧长公式）22．实践探究：有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？23．已知，如图，AD＝BC．求证：AB＝CD．24．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．求证：四边形AOBC 是菱形．25．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB ＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长．26．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE ∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．28．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形边长为1）（1）请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标；⊙P的半径为（结果保留根号）；（2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O为圆心，且OA＝AB＝BC＝CD＝5，那么周长是接近100的圆是（）A．OA为半径的圆B．OB为半径的圆C．OC为半径的圆D．OD为半径的圆【解答】解：根据圆的周长公式，得若2πR＝100，则R≈16根据题意中的数据，OC最接近．故选：C．2．我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车作向前的直线运动，又以车轴为圆心作圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线．其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线．你认为呢？摆线（Cycloid）：当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线．定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称为摆点：现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币作无滑动的滚动，那么：（1）当右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状？（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向还是向下？（3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？（）A．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；1圈B．一条摆线；向上；1圈C．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈D．一条摆线；向下；2圈【解答】解：（1）根据题意中的表述，可知其运动轨迹是一条围绕于硬币的封闭曲线；（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币自身转动了1圈，故硬币面上的图案向上；（3）分析可得：当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动2圈．故选：C．3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么与的关系是（）A．B．C．D．不能确定【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，故选D．4．有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧的长度相等；故①正确；②正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故③错误；④圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故④错误；⑤在同圆中，等弦所对的圆周角相等或互补；故⑤错误；因此正确的结论是①②；故选：B．5．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵CD为直径，CD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝2∠C，∵CD⊥AB，AE⊥BC，∴∠AFO＝∠CEO＝90°，在△AFO和△CEO中∴△AFO≌△CEO（AAS），∴∠C＝∠A，∴∠AOD＝2∠A，∵∠AFO＝90°，∴∠A＝30°，∵AO＝1，∴OF＝AO＝，AF＝OF＝，同理CE＝，OE＝，连接OB，∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，∴由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+＝，故选：C．6．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（）A．2B．C．3D．【解答】解：如图所示，AB⊥CD，根据垂径定理，BD＝AB＝×8＝4．由于圆的半径为5，根据勾股定理，OD＝＝＝3，CD＝5﹣3＝2．故选：A．7．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C+∠O＝63°，则∠O的度数是（）A．21°B．27°C．30°D．42°【解答】解：∵2∠C＝∠O，∵∠C+∠O＝63°，∴∠O＝42°，故选：D．8．如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠D＝34°，则∠BOC的度数为（）A．102°B．112°C．122°D．132°【解答】解：连接BC，∵∠D＝34°，∴由圆周角定理得：∠B＝∠D＝34°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B＝34°，∴∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠OCB＝112°，故选：B．9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（）A．45°B．90°C．135°D．150°【解答】解：∵＝，∴∠A＝∠DOB＝×90°＝45°，∵∠A+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣45°＝135°，故选：C．10．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），∴OP＝＝5．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．故选：B．二．填空题（共10小题）11．如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点E．【解答】解：A开始ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是：8π+4π＝12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是：2010π÷12π＝167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从A到B得路长是：2π，再到C的路线长也是2π，从C到D，到E的路线长是2π，则从A行走6πcm到E点．故答案是：E．12．如图甲，圆的一条弦将圆分成2部分；如图乙，圆的两条弦将圆分成4部分；如图丙，圆的三条弦将圆分成7部分．由此推测，圆的四条弦最多可将圆分成11部分；圆的十九条弦最多可将圆分成191部分．【解答】解：一条弦将圆分成1+1＝2部分，二条弦将圆分成1+1+2＝4部分，三条弦将圆分成1+1+2+3＝7部分，四条弦将圆分成1+1+2+3+4＝11部分，…n条弦将圆分成1+1+2+3+…+n＝1+部分，当n＝19时，1+＝191部分．13．如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是①③（填序号）．【解答】解：如图，连接OC，设OB交CD于K．∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA，∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠CDO＝∠OBA，∵∠DKO＝∠BKE，∴∠DOK＝∠BEK＝α，即∠BOD＝α，故①正确，不妨设，∠OAB＝90°﹣α，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBE+∠BEK＝90°，∴∠BKE＝90°，∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误，∵CD＝AB，∴＝，∴＝，∴∠ABC＝∠DOB＝α，故③正确．故答案为①③．14．如图，多边形ABDEC是由边长为m的等边△ABC和正方形BDEC组成，⊙O过A、D、E三点，则∠ACO＝75°．【解答】解：∵多边形ABDEC是由边长为m的等边△ABC和正方形BDEC组成，∴AC＝EC，∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝60°+90°＝150°，∵⊙O过A，D，E三点，∴AO＝EO，又OC＝OC，∴△ACO≌ECO（SSS），∴∠ACO＝∠ECO＝∠ACE＝1/2×150°＝75°，故答案为：75°．15．如图，⊙O的弦AB＝8，C是AB的中点，OC＝3，则⊙O的半径为5．【解答】解：连接OA，∵⊙O的弦AB＝8，C是AB的中点，OC过O，∴OC⊥AB，AC＝BC＝AB＝4，由勾股定理得：OA＝＝＝5，即⊙O的半径为5，故答案为：5．16．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升10或70cm．【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB由垂径定理得：BC＝AB＝30cm，在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，当水位上升到圆心以下时水面宽80cm时，则OC′＝＝30cm，水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．故答案为10或70．17．菱形ABCD中，∠A＝40°，点P在以A为圆心，对角线BD长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBD的度数为110°或30°．【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．∵AB＝AD，∠BAD＝40°，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∵AB＝AB，AD＝PB，BD＝P A，∴△ABD≌△BAP（SSS），∴∠ABP＝∠BAD＝40°，∴∠PBD＝∠ABD﹣∠ABP＝30°，当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′＝40°，∴∠P′BD＝40°+70°＝110°，故答案为30°或110°．18．如图，⊙O的两条直径分别为AB、CD，弦CE∥AB，∠COE＝40°，则∠BOD＝110°．【解答】解：∵OC＝OE，∴∠ECO＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣∠COE）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵CE∥AB，∴∠AOD＝∠OCE＝70°，∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°，故答案为110．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝130°，则∠AOC的大小为100度．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠B＝180°﹣130°＝50°，∴∠AOC＝2∠B＝100°．故答案为：100．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，P是矩形内部一动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP的最小值是﹣4．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝5，OB＝4，∴OC＝，∴PC＝OC﹣OP＝﹣4．∴PC最小值为﹣4．故答案为：﹣4．三．解答题（共8小题）21．如图，大半圆中有n个小半圆，大半圆弧长为L1，n个小半圆的弧长和为L2，找出L1和L2的关系并证明你的结论．（友情提示：利用弧长公式）【解答】解：L1＝L2．理由如下：设n个小半圆半径依次为r1，r2，…，r n．则大圆半径为（r1+r2+…+r n）∴L1＝π（r1+r2+…+r n），L2＝πr1+πr2+…+πr n＝π（r1+r2+…+r n），∴L1＝L2．22．实践探究：有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？【解答】解：设圆形草坪的半径为r，则由题意知，2πr＝62.8，解得：r≈10m．所以选射程为10米的喷灌装置，安装在圆形草坪的中心处．23．已知，如图，AD＝BC．求证：AB＝CD．【解答】证明：∵AD＝BC，∴，∴，即，∴AB＝CD．24．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．求证：四边形AOBC 是菱形．【解答】证明：连OC，如图，∵C是的中点，∠AOB＝l20°∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形．25．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB ＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长．【解答】解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝＝＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，连结BE，如图，∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3，∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，在Rt△CBE中，CE＝．26．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∵，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵∠C+∠CAE＝90°，∠ABC+∠BAE＝90°，∴∠C＝∠ABC，∴AC＝AB，∴△ABC为等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝＝8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴，∴，27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE ∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．【解答】（1）证明：∵BC∥AE，∴∠ACB＝∠EAC，∵∠ACB＝∠BAD，∴∠EAC＝∠BAD，∴∠EAD＝∠CAB，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，∴CE＝CA．（2）解：设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．∵∠EAD＝∠CAB，∴＝，∴DM＝BC＝10，∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°，∴∠MDE＝∠CAM，∵∠E＝∠CAE，∴∠E＝∠MDE，∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE，∴EH＝DH，∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，∴cos∠E＝＝，∴EH＝4，∴DE＝2EH＝8．28．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形边长为1）（1）请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标（2，﹣1）；⊙P的半径为2（结果保留根号）；（2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系圆内．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示：则圆心是（2，﹣1），r＝＝2，d＝＝＜2，故答案为：（2，﹣1），2，圆内。