2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一««
1•堆择腿11 8小甌毎小題4企共32分•下列毎题铃出的四个述项中•只有 ftt 项特合题目要 次的，请将髀项陆的爭审填念劄■懈揩定位置上・
• • •
(1) 下列曲钱有渐近线的是
()
(A)y = x+sinx
(B) y= x 2 + sinx
・1
2・1
(C) y = x+ an — (D) y = f+ sm —
X
7
(2) 设函敎f(x)具有二阶导如 gW-/(0)(l-x)+/(l)^-则在区糾[0」]上()
(A)^/(x)> 0 时./W>g(x)
(B)当八机0时・/«»<g(x)
【C)当 r (x)<0 时./(A ) >£(X )
Q)当於(力50 时./|»<E (X )
G )s/w 是谨维函致・则J ；色4匚&/(%»)*■
(A) J ；对。

门/⑴刃分+匸必产f3创
⑹Jo 城％刃勿+f«心討(5卩
工
1
]
f(r cos 6, r an ^)<2?r +
/(r cos r sin &)dr
血疗忌介cos*sm 叽r+J ；坷y (rcos*血8)曲
a 】 cos x+q sin x =
二 填空热91 14小蛊,毎小題4分，共24分•诸将答案写在答黒我把定位置上.
• • •
(9) 曲面z = F(1 - sin y) +y 2(1 一sin x)在点(1.0」)处的切平面方程为 ____________ .
(10) 设/(X )是冏期为4的可异奇更数，且广(x) = 2(x-l), x G [0, 2],则/(7) = ____________________ . (11) 微分方程a +歹3 x-ln 刃“ 0满足条件卩(1) - e 3的解为y = ____________ ・
(12) 设£是柱面? + y 2 = 1与平面y+z = 0的文钱•从z 轴疋向注z 轴负向看去为逆时纤方向.
(13) 设二次51/(叫加玄厂加3的负惯性指数是1・则d 的取值范国 ___________________________ .
丿2x
(14) 设总也才的概卒密度为・f(x;8)= 莎其中8是耒知参熱 冷禺….乞为来目 (Q 武他
总饰X 的简单样本.若是8的无偏估计.则c = ________________ .
(C)
(P)
(4)若『(x_a]C0sx_ 外 sinx)2必=
“ (x - a cos x- b sin x)2 叫
，则
三.解春flh 15〜23小)1,共夹分•请将解答写在舸抵指定也置上闻应写出文字说明、证明 演算步・.
(15) (本题满分10分)
(16) (本题庸分10分)
设函数丫 = /(A )由方程』3十&$十入2)十6 = o 确迄•求/(A )的极直
(17) (本题灌仝10分)
4 金r
z- /(bcosy)满足訂+#* 4(2 + 夕 cosy)产.若
<(o)=o,/(o) = o,求/(“)的表达式.
(18) (本题瀟分10分)设工为曲面z-? + y 2(z<l)的上侧.计篦曲面枳分
1 = 口仗-1)3令£* (y- \^dzdx 4- (z-1) dxdy
z
(19) (本题潮分 10 分)设数列仏｝,｛氏｝满足 0 <a^ <— , 0 <^ <— , cos^-^-cosb^. J9
2 2
级数$氏收皴。

X-1
⑴证明:lima x -0>
(II )讥明：级败
设函数g 具有2阶逹陸导数.
2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸
指定位置上•
三、解答题：15— 23小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上•解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 （15）【答案】
（1） B
（2
） D （3
） D （4
） B （5
） B （6
） A （7
） (B ) （8
）
(D )
二、填空题： 9 14小题, （9
） 2x y z 1 0
（10）
f( 1 )1
（11
）
ln y 2x 1
x
（12
）
（13）
[-2,2]
（14）
2
5n
每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上•
1
x
1 ln(1 -)
x
u
e 1
2 u e u 1 2u
(16 )【答案】
3y 2y y 2 x 2yy 2xy x 2y 0 2
y 2xy 0 y(y 2x) 0
y 0(舍)或 y 2x 。

y 2x 时, 3
2
y xy
x 2y 6
8x 3 x (4x 2) x 2 (
2x) 6 0
8x 3 4 x 3 2x 3 6 0
6x 3 6 0
x 3 1
x 1,y 2
6( y )2 y 3y 2y 2yy 2yy x 2( y )2 x 2yy 2y 2xy 2xy x 2y 0
12y (1) 4y (1) 4 y (1) 0
9y (1) 4
9
y(1)
4 0
所以y(1)
2为极小值。

(17 )【答案】
f (e x cos y )e x cos y
X 2
1
[t 2(e x 1) t]dt
lim
x
lim x 1
(e x
1),t 2dt
x tdt
1
lim x
2 x (e
x 1) x
则lim x x x 2(e 1) x
lim
u 0
lim u 0
E 2 f (e x cosy )e2x cos2 y f (e x cosy)e x cosy
x
E f (e x cosy)e x( siny) y
2E 2
x 2x 2
f (e cosy)e sin y f (e x cosy)e x( cosy)
y
2E 2 2E
2 f (e x cosy )e2x(4E e x cosy)e2x
x y
f (e x x
cosy) 4f(e cosy) x e cosy
令e x cos y u ,
则f (u) 4f(u) u ,
f (u ) C1e2u C2e 2u U,(C,,C2为任意常数)
4
f(0) 0,f (0) 0,得
f(u)
2u 2u e e
16 16
(18)【答案】
(x,y,z)z 1的下侧，使之与围成闭合的区域
1 1
[3( x 1)23( y 1 )21]dxdydz
2 1 1
d d [3( cos
0 0 2
2 1 1
d d [3 26
1 0
2
2 (
3 37 )(1 3( sin
6 2sin
4
1 )21] dz
7 ]dz
由0 a n，根据单调有界必有极限定理，得lim a n存在，
2 n
设lim a n
n a，由b n收敛，得lim b n 0，n 1
n
1)2
2cos
2)d
(19 )【答案】(1 )证｛a n｝单调
故由cosa n a n cosb n，两边取极限(令n
解得a 0，故lim a n 0 o
n
k1 2 k2 6 k3 1
(20)【答案】①
2k1 1 2k
2
3 2k
3
1
1,2,3,1 ② B k1, k2, k3 R
3k1 1 3k2 4 3k3 1
k1 k2 k3
(21)【答案】利用相似对角化的充要条件证明。

0,y 0,
(22)【答案】(1)F Y y 3y，
o
4
y 1,
(2)
(23)【答案】(1)EX
(2)X i
(3)存在
1,y 2.
JEX2
2,
),得cos a a cos0 1。