对等式(2.6)积分,
得出 F ( x)
G(x)
1
x
( )d c
其中是c任意常数. 由等式(2.5)和(2a.7)0解出和为
(2.6) (2.7)
F(x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
2
2a 0
2
G(x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
代入(2.4),我们得到 2
2a 0
2
u(xt) 1 [(x at) (x at)] 1
解: 容易求出(2.10)中的方程的特征曲线
xy
c1
x y
c2
作自变量变换
xy x
y
y 1, x 0
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
就可把(2.10)中的方程化成标准型
u
1
2
u
0
为了求出方程(2.11)的通解, 我们令
(2.11)
则方程(2.11)化为
w u
u() ()d 1( )
其中1(是) 的任意函数. 若令
2(),上式(可)d写 成
其中 和 都u是(其变) 元 的1任(意) 连续可2微(函)数. 变回到原来的变
量 和 , 便得x 到方y程(2.10)的通解为
1 2
u(x y) 1(xy)
xy
2
(
x y
)
(2.14)
下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数 到下面两个等式：
满足初始条件
uut((xx00))((x(x)2).2)
x x
,
其中a是一个正常数，函数 (x) C2是(x定) 义C在1 区间
上的(已知函 数.)
§2 一维波动方程
2
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，
这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知,
w
1
2
w
0
(2.12) (2.13)
若把看作参数, 方程(2.13)就是以 为自变量的线性常微分方程,
其通解可写为
w ()
其中 (是) 的 任意函数. 将此表达式代入方程(2.12), 得
u ()
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
再对求积分, 便得方程(2.11)的通解
方程(2.1)的特征方程是
dx2 a2dt2 0
由此求得特征曲线为
其中c1 c为2 任意常数.
x at c1 x at c2
为了将方程(2.1)化成第一标准型, 引入自变量变换
x at x at
即把特征线当作坐标线，则方程(2.1)变成
u (20.3)
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
数据
与(x) (满x)足不 (等x)式 (x)
sup (x) (x) sup (x) (x)
xR
xR
时, 则与之相对应的Cauchy问题的解 u(x与t) u满(x足 t)
sup u(xt) u(xt)
xR 0t T
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程 §2 一维波动方程
2.1. 齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法 最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问
题, 在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题
utt a2uxx 0 (2.1x) t 0
证:只要取 即 可. 综上所述，C1auTchy问题(2.1), (2.2)的解是适定的.
另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式
t
a
x
t
a
x
u
0
且令
t
a
x
,
u则可v 以得到如下一阶线性偏微分方程组
uvtt
av(2x .9)0 aux v
按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得
(2.4)
u(xt) F(x at) G(x at)
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数 和F , 由G等式(2.4)
有
u(x0) F(x) G(x) (x)
(2.5)
ut (x0) aF(x) G(x) (x)
对初值 加上一定的条件.
定理4.3 若 C2 ( ), 则由C1(D’Ale)mbert公式(2.8)表示的 函数 是Cauchyu问(x题t)(2.1), (2.2)解.
证明留作习题，请读者自己完成. 下面我们讨论Cauchy问题(2.1), (2.2)解的稳定性.
定理4.4 假设对任意给定 的 , 总0 可找到这样的 , 当初始0
xat
( )d
2
2a xat
这个公式称为Cauchy问题的达朗贝尔(D’Alembert)公式.
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
到目前为止, 表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1), (2.2)的 形式解. 为了使它确实是Cauchy问题(2.1), (2.2) 的解, 我们需要
和1
.首 2先,容易得
1(x) x2(x(2).15)(x)
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》第四章双曲型方程
x 1(x)
x 2
2
(
x)
x
3 2
2(
x)
(
x)
对 x微分(2.15),得
1(x) 2 1 x 2 (x) x 2(x) (x)
用 x乘以上式再与(2.16)相加,得
2(x)
D’Alembert公式(2.8).
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
上面对弦振动方程求解的特征线法, 亦适用于类似方程的
Cauchy问题.
例1 求解Cauchy问题
x2uxx y2uyy 0 x 0
u(x1) (x)uy ((x21.1) 0) (x)
其中(x和) 都(x是) 已知函数.
改写(2.3)为
u
0
u
可以看出 不依u赖 于
变 量, 于是有
f ( )
其中 f是 的任意连续可微函数, 再对 积分, 得到
u() f ( )d G()
若令 F( ) ,可f 得( )d
F u(其)中 F和( ) 都G是(任) 意的二阶连G
t 续可微函数. 回到原来的变量 和 , 于是波动方程x(2.1) 的通解为
1 2x
( x)
1 2
x
3 2
( x)
由此推得
ห้องสมุดไป่ตู้
2
(
x)
1 2
x ( ) d 1
x0
2
x x0
( )
32
d
c
其中 c 为任意常数. 再将 的2 (x表) 达式代入(2.15), 得