1.3 某市居民家庭人均年收入服从4000X =元，1200σ=元的正态分布，求该市居民家庭人均年收入：（1）在5000—7000元之间的概率；（2）超过8000元的概率；（3）低于3000元的概率。

（1）()()()()()2,0,15000700050007000()2.50.835( 2.5)62X N X X XN XX XXP X P F F X XP σσσσσσ-∴---∴<<=<<--=<<=Q ::根据附表1可知()0.830.5935F =，()2.50.9876F =()0.98760.5935500070000.19712P X -∴<<==PS ：()()5000700050007000()55( 2.5) 2.5660.99380.79760.1961XX XXP X P X X P σσσσ---<<=<<-⎛⎫=<<=Φ-Φ ⎪⎝⎭=-=在附表1中，()()F Z P x xz σ=-<（2）()80001080003X X X X X P X P P σσσ⎛⎫⎛⎫--->=>=> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=0.0004 （3）()3000530006X X X X X P X P P σσσ⎛⎫⎛⎫---<=<=<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.2023 ()030001050300036X X X X X X P X P P σσσσ⎛⎫⎛⎫----<<=<<=-<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.2023-0.0004=0.20191.4 据统计70岁的老人在5年内正常死亡概率为0.98，因事故死亡的概率为0.02。

保险公司开办老人事故死亡保险，参加者需缴纳保险费100元。

若5年内因事故死亡，公司要赔偿a 元。

应如何测算出a ，才能使公司可期望获益；若有1000人投保，公司可期望总获益多少？设公司从一个投保者得到的收益为X ，则则()1000.02E X a =-故要是公司可期望获益，则有()1000.02E X a =->0，即5000a <PS ：赔偿金应大于保险费？1000人投保时，公司的期望总收益为()10001000.021*******a a -=-2.1 写出过原点的一元、二元线性回归模型，并分别求出回归系数的最小二乘估计。

解答：过原点的一元线性回归模型为Y X βε=+()()22ˆmin ˆˆ20ˆi i i i i i iiy x y x x x y xβββββ-⇒--=⇒=∑∑∑∑对一阶求导约束最小二乘估计：y x αβε=++()()()()2,22ˆmin ..0ˆˆ20ˆ00ˆi i i i iiiiii i i y x s t L y x y x y x x x y x αβαβααβλαααβλβαβαβ--=⇒=--+--+=--==⇒=∑∑∑∑∑∑对求导得到：-对求导得到：-2过原点的二元线性回归模型为1122Y X X ββε=++()()()()()1221122ˆˆ,1211221112222212211222121221121222221212ˆˆmin ˆˆ,ˆˆ20ˆˆ20ˆˆi i i i i i i iiiii i i i i i ii i i i i i i i i i ii i i iy x x y x x x y x x x x y x x x x y x x x x x y x x x x y x x x x ββββββββββββ--⇒---=---=-⇒=--=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑对分别求一阶导2.2针对多元线性回归模型Y X βε=+试证明经典线性回归模型参数OLS 估计量的性质()ˆE ββ=和()()12ˆˆ,Cov X X ββσ-'=，并说明你在证明时用到了哪些基本假定。

解答：()()()()()()ˆ1ˆˆˆˆmin ˆ20ˆY Y Y Y Y X Y X X Y X X X X Yβββββ-''--=--'⇒--=''⇒= 无多重共线性()()()()()()()()1111ˆE E X X X Y X X X E Y X X X E X X X X X ββεββ----''''==''=+''== 零均值()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111111111212ˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆX X X Y X X X X X X X Cov E E E E E X X X X X X E X X X X X X X X X E X X X X X X IX X X X X ββεβεββββββββββεεεεεεσσ------------''''''==+=+'=--''''''=--=''''=''''='''='=Q Q 又 同方差，无序列相关2.3为了解某国职业妇女是否受到歧视，可以用该国统计局的“当前人口调查”中的截面数据，研究男女工资有没有差别。

这项多元回归分析研究所用到的变量有：ED AGE W ⎧⎨⎩——雇员的工资率（美元/小时）1,若雇员为妇女SEX=0,其他——受教育的年数——年龄对124名雇员的样本进行研究得到的回归结果为（括号内为估计的t 值）：()ˆ 6.41 2.760.990.12WSEX ED AGE =--++ -3.38 (-4.61) (8.54) (4.63)20.867,23.2R F ==（1）求调整后的可决系数2R（2）AGE 的系数估计值的标准差为多少？ （3）检验该国工作妇女是否受到歧视？为什么？ （4）求以95%的概率，一个30岁受教育16年的该国妇女，平均每小时工作收入的预测区间是多少？ 解答：（1）()()()()2211111111241110.8670.8641244ESS n k n ESS R TSS n n k TSSn R n k --⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭-⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭-=--=-（2）00ˆˆˆˆ0.120ˆ0.0264.63t se t se se βββββββ--=⇒=-∴==（3）因为()0.025120 1.9799 4.61t =<,所以2ˆ 2.76β=-显著，且为负，即意味着妇女受到歧视。

（4）0ˆ 6.41 2.7610.99160.123010.27W=--⨯+⨯+⨯= 有公式知0W 的95%置信区间为： ()00.025ˆ120W t ±即10.27 1.9799±其中()01,1,16,30X '=2.8设某公司的投资行为可用如下回归模型描述：12131i i i iI F K βββε--=+++其中iI 为当期总投资，1i F -为已发行股票的上期期末价值，1i K -为上期资本存量。

数据见课本71页。

（1） 对此模型进行估计，并做出经济学和计量经济学的说明。

（2） 根据此模型所估计的结果，做计量经济学检验。

（3） 计算修正的可决系数。

（4） 如果2003年的1i F -和1i K -分别为5593.6和2226.3，计算iI 在2003年的预测值，并求出置信度为95%的预测区间。

解答：equation eq1.ls i c f k expand 1984 2003 smpl 2003 2003 f=5593.6 k=2226.3smpl 1984 2003 eq1.forecast yf sfscalar tc=@qtdist(0.975,16) series yl=yf-tc*sf series yu=yf+tc*sf show yl yf yu（1）最小二乘回归结果为：()()()()1122ˆ109.79840.1141580.326143(97.43575).0.0( 1.126880) 4.8623448.2782170.8906870.877022i i i I F K se t R R --=-++==-== 023478 039398 F=65.18405 P=0经济意义说明：在假定其他变量不变的情况下，已发行股票的上期期末价值增加1单位，当期总投资增加0.114158单位；在其他变量不变的情况下，上期资本存量增加1单位，当期总投资增加0.326143单位。

（2）模型的拟合优度为20.890687R =，修正可决系数为20.877022R =，可见模型拟合效果不错。

F 检验：对模型进行显著性检验，F 统计量对应的P 值为0，因此在0.05α=的显著性水平上我们拒绝原假设023:0H ββ==，说明回归方程显著，即变量“已发行股票的上期期末价值”和“上期资本”存量联合起来确实对“当期总投资”有显著影响。

()2,16 3.63F F α>=t 检验：针对()0:01,2,3jH j β==进行显著性检验。

给定显著性水平0.05α=，查表知()216 2.12t α=。

由回归结果，2ˆβ、3ˆβ对应的t 统计量的绝对值均大于2.12，所以拒绝()0:02,3j H j β==；但1ˆβ对应的t 统计量的绝对值小于2.12，在0.05的显著性水平上不能拒绝01:0H β=的原假设。

（3）20.877022R =（4）iI 在2003年的预测值为1254.848，置信度为95%的预测区间为（1030.292，1479.405） 105.9276sf =2.4 设一元线性模型为23.1r (i=1,2,…..,n) 其回归方程为ˆˆˆY X αβ=+，证明残差满足下式ˆ()XYi i i XXS Y Y X X S ε=---如果把变量2X ,3X 分别对1X 进行一元线性回归，由两者残差定义的2X ，3X 关于1X 的偏相关系数23.1r 满足：23213123.1222131(1)(1)r r r =-- 解答：（1）对一元线性模型，由OLS 可得()()()2ˆˆˆii XY XXiY X X X Y Y SS X X αββ=---==-∑∑所以，()ˆˆˆˆi i i i i XY XYi i XX XX XY i i XXY Y Y X S SY Y X X S S SY Y X X S εαβ=-=--⎛⎫=--- ⎪⎝⎭=---（2）偏相关系数是指在剔除其他解释变量的影响后，一个解释变量对被解释变量的影响。