导数大题中不等式的证明1.使用前面结论求证（主要）2.使用常用的不等关系证明，有三种：()ln 1x x +<，sin ,x x <e 1xx <-。

1、设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．2、已知函数2901xf x a ax =>+()() ． （1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a xax x f +=>-=且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a=1时，求最大的正整数 k ，使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数）内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立； （3）求证：)12ln(14412+>-∑=n i i ni )(*∈N n4、已知函数)1ln()(2x ax x f +-=（1）当54=a 时，求函数)(x f 在),0(+∞上的极值； （2）证明：当0>x 时，x x <+)1ln(2； （3）证明：e n<+++)11()311)(211(444Λ 为自然对数的底数）e n N n ,2,(≥∈*.5、在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L :214y x =.实数p ,q 满足240p q -≥，x 1,x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=。

（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠(p 0≠ 0)作L 的切线交y 轴于点B 。

证明：对线段AB 上任一点Q (p ，q )有0(,)2p p q ϕ=； （2）设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2-4b >0,a ≠0。

过M (a ，b )作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与,'F F ，线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：M (a ,b ) ∈X ⇔12P P >⇔(,)a b ϕ12p =； （3）设D ={ (x ,y )|y ≤x -1,y ≥14(x +1)2-54}，当点(p ,q )取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）.6.设a ＜1，集合（1）求集合D （用区间表示） （2）求函数在D 内的极值点。

7、设函数2()(1)()xf x x e kx k R =--∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M8、设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）。

9、已知二次函数()21fx x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122nn n g x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *).10、已知函数()()221e x f x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．11、设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N的零点．（1）证明：01n a <<； （2）证明：1nn <+1232n a a a +++<L ．12、已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+L .13、已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.14、设函数)(ln )(a x e x f x-=，e 是自然对数的底数，Λ718.2≈e ，R a ∈为常数．⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值；⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21 , 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围．15、已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）． （1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围； （3）证明：211sinln 2(1)nk k =<+∑．16、设函数2()ln ||f x x x ax =-+。

（1）求函数f （x ）的导函数'()f x ；（2）若12,x x 为函数f （x ）的两个极值点，且1212x x +=-，试求函数f （x ）的单调递增区间； （3）设函数f （x ）的点C （00,()x f x ）（0x 为非零常数）处的切线为l ，若函数f （x ）图象上的点都不在直线l 的上方，求0x 的取值范围。

17、已知函数21()ln ,()2f x xg x ax bx ==-，设()()()h x f x g x =-。

（1）若g （2）＝2，讨论函数h （x ）的单调性；（2）若函数g （x ）是关于x 的一次函数，且函数h （x ）有两个不同的零点12,x x 。

①求b 的取值范围；②求证：212x x e >18、()1当1m =时，求过点()0,1P -且与曲线()()21y g x x =--相切的切线方程；()2求函数()y g x =的单调递增区间；()3若函数()y g x =有两个极值点a ，b ，且a b <，记[]x 表示不大于x 的最大整数，试比较()()sing a g b ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦与()()()cos g a g b ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的大小．19、已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ．（1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数；②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中1,2,,k n =L ． 证明：1276n a a a +++<L （*N ∈n ）．20、设函数()1xf x x=+，()()ln 1g x x =+． ()1求函数()()()1x f x g x H =-的最大值；()2记()()2x g x bx H =-，是否存在实数b ，使()20x H <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；()3证明：2111ln 12nk k n k =-<-≤+∑（1n =，2，⋅⋅⋅）．21、已知函数()()ln x a f x x-=.,.(Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).22、已知函数2()()ln()x f x a R x a ax=∈+- （1）当a=0时，求函数()f x 的单调区间；（2）当a=1时，设2()()x h x f x =，（i ）若对任意的[)+∞∈,0x ，2()h x kx ≥成立，求实数k 的取值范围；（ii ）对任意121x x >>-,证明：不等式121211122()()2x x x x h x h x x x -++<-+-恒成立.23、设常数a ＞0，R ∈λ，函数32)()()(a x a x x x f +--=λ. （1） 若函数)(x f 恰有两个零点，求λ的值；（2） 若)(λg 是函数)(x f 的极大值，求)(λg 的取值范围.24、已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e b Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．25、已知0a >，函数)(x f ＝2x ax a-+．（1）记)(x f 在区间[]40，上的最大值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （2）是否存在a ，使函数)(x f y =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．26、已知函数()1,()f x a R =∈（1）当1a =时，解不等式()1f x x <-； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）若在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，求a 的取值范围．27、设函数()ln ,f x x = ()()()()212.g x a x f x =--- （1）当1a =时，求函数()g x 的单调区间；（2）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为C ()00,x y ，直线AB 的斜率为k . 证明：()0k f x '>； （3）设()()()01bF x f x b x =+>+，对任意(]1212,0,2,x x x x ∈≠，都有 ()()12121F x F x x x -<--，求实数b 的取值范围.28、已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1()(=+xf x f ， 其中b a ,为常数．（1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值；（2）已知10<<a ，求证：0)2(2>a f ； （3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．29、已知函数b a bx ax x f ,(,1)(2++=为实数，),0R x a ∈≠．（1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，求)(x f ； （2）设0,0,)()()(<>⎩⎨⎧-=x x x f x f x F ，0,0,0>>+<a n m mn ，且函数)(x f 为偶函数．证明：0)()(>+n F m F ； （3）设)(,1ln )(x g ex x g x+=的导函数是),(x g '当1==b a 时，证明：对任意实数0>x ，21)(]1)([-+<'-e x g x f ．30、已知函数x x m mx x f 2ln )2()(-+-=（R m ∈），x x x g )1ln()(+=. （1）讨论)(x f 的单调区间；（2）是否存在0<m 时，对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立？若 存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.31、已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ；（2）设()g x =，0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．32、已知函数x x ax x g 2231)(23-+=，函数)(x f 是函数)(x g 的导函数. (1) 若1=a ，求)(x g 的单调减区间；(2) 若对任意R x x ∈21,且21x x ≠，都有2)()()2(2121x f x f x x f +<+，求实数a 的取值范围； (3) 在第（2）问求出的实数a 的范围内，若存在一个与a 有关的负数M ，使得对任意]0,[M x ∈时4)(≤x f 恒成立，求M 的最小值及相应的a 的值.33、已知函数(),xf x e kx x R =-∈． （1）若k e =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意x R ∈，(||)0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1*2(1)(2)()(2)()n n F F F n en N +⋅⋅⋅>+∈．34、已知21()ln(1),()(,)2f x xg x ax bx a b R =+=+∈． (1) 若2()(1)()bh x f x g x ==--且存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；(2) 若0,1a b ==,求证：当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立；(3) 设0,0x y >>，证明：ln ln ()ln2x y x x y y x y ++>+。