第五节
sin x lim 1 一．x 0 x
两个重要极限
y
1
0 “ ”未定式 0
0
x
x
sin x x
1
0.5 0.95885
0.05 0.99958
0.01
0.001

0.84147
0.99998 0.9999998
sin x lim 1 于是得到第一个重要极限：x 0 x
显然 lim
1 u x
e
解: （1） lim
sin 5 x sin 5 x lim 5 1 5 5 x 0 x 0 x 5x sin 3( x 2) sin(3 x 6) sin 3( x 2) lim 3 （2） lim lim x 2 x 2 x 2 3( x 2) x2 x2
sin u( x ) lim 1 u( x )
2.第二个重要极限
" 1 " 未定式有两种形式
1 x
1
0
推广
1 x 0 2 lim(1 x ) e lim(1 ) e x 0 x x 如果当x x0或者x 时，u x 0，那么
lim 1 u x
1 3 3
tan x sin x sin x 1 2 tan x 2 lim 2 lim 2 lim （3） lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x cos x x cos x x
2 1 1 2
sin 3 x 2 x 3 x sin 3 x 3 3 lim （4） lim 1 1 x 0 x 0 sin 2 x 3 x sin 2 x 2 x 2 2
x 1 x 0 sin x
u( x ) 0，则 推广形式为：如果 x x0 ，或 x 时，
lim sin u( x ) 1 u( x )
例1:求下列极限
sin 5 x sin(3 x 6) 2tan x （1） lim ； （2） lim ；（3） lim ； x 0 x 2 x 0 x x2 x sin 3 x x2 5 x 6 2 （4） lim ； (5)lim ； (6)lim x sin x 0 sin 2 x x 2 sin( x 2) x x
1 y (1 ) x x
2.8
2.9
e 2.75

1 x lim(1 ) e x x
在 lim(1
x
1 x 1 ) e 中，令u ，则变形为 x x
lim(1 u) e
u0
1 u
即
" 1 "
lim(1 x ) e
x 0
1 x
1 x
未定式有两种形式
1 u x
e
这里u x sin x
当x 0时，u( x) sin x 0
lim 1 sin x
x 0 1 sin x
e
小结
sin x 1 1.第一个重要极限 lim x 0 x u( x ) 0，则 推广形式为：如果 x x0 ，或 x 时，
二．第二个重要极限 lim(1
x
1 x ) e x
" 1 "
未定式
y
e
2.7
y (1
2.65
1 x ) x
2.6
2.55
x
20 40 60 80
1 lim (1 ) x e x x
y
3.05
x
-100 -80 -60 -40 -20 2.95
1 x lim (1 ) e 2.85 x x
x2 5 x 6 ( x 2)( x 3) ( x 2) (5)lim lim lim ( x 3) x 2 sin( x 2) x 2 x 2 sin( x 2) sin( x 2)
1 (1) 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 2 sin sin 2 x 2 2 x lim (6)lim x sin lim x x 2 x x 1 x x
10
1 x lim(1 ) e x x
20
lim(1 x ) e
x 0
都称为第二个重要极限
第二个重要极限可以推广为以下形式:
如果当x x0或者x 时，u x 0，那么
lim 1 u x
如 lim 1 sin x
x 0 1 sin x