0 , X 0 , 使 x X 时 , 当 恒 |f ( x ) A 有 | .
几何意义
对 0,X0当 xX时 ,函y数 f(x)图形完 落在以 yA 直 为线 中,宽 心2为 线 的带形 . 区域
例2 证l明 im ax0(a1). x
证 这 里 f(x ) A a x 0 a x (x0)
这 里 f(x)Asinx0sinx 1
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xx
要 使 f(x)A, 只 要 1 , 即 | x | 1 ,
|x |
0, 取X10, 则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
4. 水平渐近线 (horizontal asymptote)
如果 lim f(x)c或limf(x)c,则称y直 c是 线
则称常数 A 是函数 f(x) 当 x+ 时的极限 . 记 li f ( x m 为 ) A , 或 f ( x ) 者 A ( x ) .
x
"X"定义
limf(x)A
x+
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 |f ( x ) A 有 | .
几何意义
对 0,X0当 xX时 ,函y数 f(x)图形完全 落在以 yA 直 为线 中,心 宽2线 为 的带形 . 区域
5 . x x 0 且 无 限 接 近 于 x 0 , 为 x x 0 . 6 . x x 0 且 无 限 接 近 于 x 0 , 为 x x 0 .
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x 时的变.化趋 x
播放
通过上面演示实验的观察: 当 x无限,增 f(x)大 six 时 n无限接 0. 近
定理：
lim f(x)Alif( m x ) A 且 lif( m x ) A .
x
x
x
几何意义
当 xX或 xX时 ,函y数 f(x)图形完全落
直y线 A为中,心 宽线 2为 的带形. 区域内
X
y sin x x
A
X
例3 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证
""定义 lim f(x)A
x x0
0 , 0 , 使 0 | x x 0 | 当 时 , 恒 | f ( x ) A | 有 .
注{x 意 0 |x ： x 0| } {x 0x x 0 } {x x x 0 0 }
说明 1)用来x刻 与x划 0的接近 ,与 程 任 度 意给 的正 有 数.关
值f(x)无限趋近A 于 . 确定值
|f(x )A | 表 |f( 示 x )A |任;意小
0 |x x 0|表 x 示 x 0 的.过程
x0
x0
x0 x
点 x0的去 邻 心 ,域 体x现 接x近 0程.度
1. x x0 时 f (x) 的极限
定义 若存在常数 A ,对任意给定的正数 > 0, 总 存在正数 >0,只要 f 的定义域中的点 x 满足 0<|x x0|< 时，恒有 |f(x)A|< 成立，则称常数 A 是函数 f(x) 当 x x0时的极限,简称 A 是 f (x)在
limCC. xx0
例2 证明 limx212. x1 x1
证 函数在点x=1处没有定义.
这里f(x)A
x21 2
x1
x1
要f(使 x ) A , 只 要 |x1|,
第三节 函数极限的定义
一、自变量的变化过程 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 三、自变量趋向有限值时函数的极限 四、函数极限的性质
一、自变量的变化过程
1 . x 0 ,且 x 无限 ,记 x 增 为 . 大 2 .x 0 ,且 x 无限 ,记 x 增 为 . 大 3 .x 为任 ,且 x 无 意限 ,实 记 x 增 数 为 . 大 4 .x 无x 限 0 ,且 x x 0 接 ,记 x 近 x 0 为 .
x
x －
函数 yf(x)的图形的水 . 平渐近线
例如： lim ax0(a1), x
y0是函数 yax的图形的水平 . 渐近线
lim arcxtan, lim arcx t an,
x
2 x
2
y与y都函 是数 yarctx的 an图形
22
的水平.渐近线
三、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 函数 yf(x)在xx0的过,程 对中 应函
2 )定0 义 |x x 中 0|是重 ,不 要 能 . 的 去
3)函数极 f(x限 )在与 x点 0是否有定 . 义
例1 证l明 im CC,(C为常 ). 数 x x0
证 这 里 f(x ) A C C 0 ,
0, 可 任 取 一 正 数 0 ,
则 当 0xx 0 时 , 总 有 f(x )A 0 ,
y sin x x
A
X
例1 证明 lim 2x12. x x
证 这 里 f(x)A2x121,
x
x
要 使 f(x)A, 只要 1 ,
x
即 x 1,
因而0, 取X10, 则当 xX时恒有
2x12,
x
故lim2x12. x x
2. x 时 f (x) 的极限
lim f(x)A
x
x0 处的极限.
记 x l x 0 i f ( x m ) 为 A , 或 f ( x ) 者 A ( x x 0 ) .
几何意义
当
x
在
x
的去心
0
邻
域时 ,函数 y f ( x )
图形完全落在以直
线 y A 为中心线 ,
宽为 2的带形区域内
y
A
A
A
.o
yf(x)
x0 x 0 x0
x
x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
|f(x ) A | 表 |f( 示 x ) A |任;意小
x X ( 0 )表 示 x + 的 过 程 .
1. x +时 f (x) 的极限
定义 设 f(x) 在 x > a (a>0)有定义 , 对任意给定的正
数 ,总存在正数 X , 当 x > X 时，恒有| f(x)A|<，
要 使 f(x)A,只要ax , 即 xln aln , 即 x ln ,
lna
10, 取Xln0,
lna
则当 xX时恒有 ax0,
limax 0. x
3. x 时f(x)的极限
lim f(x)A
x
0 , X 0 , 使 |x | X 时 , 当 恒 f ( x ) A 有 .