《离散数学》代数结构部分练习题参考答案
2018年6月
一、填空题
1.在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有单位元0有逆元.
2.设A 是非空集合，集合代数),),(( A P 中，)(A P 对运算 的单位元是∅，零元是 A.)(A P 对运算 的单位元是A .
3.设Z 为整数集，若1,,-+=∈∀b a b a Z b a ，则Z a ∈∀，a 的逆元=-1a 2－a .
4.设}3,2,1,0{4=Z ，⊗为模4乘法，即4mod )(xy y x =⊗，4,Z y x ∈∀.则4Z 上运算⊗的运算表为.（略）
二、选择题
1.设集合{}10,...,3,2,1=A ,在集合A 上定义运算,不是封闭的为(A )
(A){}b a lcm b a A b a ,,,=∙∈∀(最小公倍数)(B){}b a ged b a A b a ,,,=∙∈∀(最大公约数)
(C){}b a b a A b a ,max ,,=∙∈∀(D){}
b a b a A b a ,min ,,=∙∈∀2.在自然数集N 上定义的二元运算∙,满足结合律的是
(C )(A)b a b a -=∙(B)b a b a 2+=∙(C){}b a b a ,max =∙(D)b
a b a -=∙三、解答题
1.通常数的乘法运算是否可以看成是下列集合上的二元运算，说明理由.
（1）{}2,1=A （2）{}是质数x x B =（3）{}是偶数x x C =（4）{}N n D n ∈=2解：（1）数的乘法运算不是集合A 上的二元运算.因为A
∉=⨯422（2）数的乘法运算不是集合B 上的二元运算.因为质数与质数的乘积不是质数.
（3）数的乘法运算是集合C 上的二元运算.因为偶数乘偶数是偶数.
（4）数的乘法运算是集合D 上的二元运算.因为D n m m n ∈=⨯+222.
2.实数集R 上的下列二元运算是否满足结合律与交换律？
（1）212121r r r r r r -+=*（2）2
/)(2121r r r r += 解：（1）运算*满足交换律与结合律.
（2）运算 不满足结合律，但是满足交换律.
3.实数集R 上的二元关系212121r r r r r r -+=*中，运算*是否有单位元，零元和幂等元？若有单位元的话，那些元素有逆元？
解：运算*有单位元0，0*00*0a a a a a ==⋅-+=.1是零元：1*111*1r r r r ==⋅-+= 1是幂等元：111111*1=⋅-+= ，同理0也是幂等元.1≠r 时，r 有逆元1
-r r .4.给定正整数,m 令{}Z k km G ∈=，(1)判断普通加法在G 上是否满足结合律，并说明理由；(2)求普通加法运算的单位元、所有可逆元素的逆元.
解：)()()(,,sm lm km m s l k sm lm km G sm lm km ++=++=++⇒∈∀，所以G 有结合律；0是G 的单位元：0)0(00+==+=+⋅=+km km m k km m km ；G km ∈有逆元m k )(-：0)(=-+m k km .于是>+<,G 是群.
5.设>< ,Z 中运算 为2,,-+=∈∀b a b a Z b a ，(1)判断运算 在G 上是否满足结合律，并说明理由；(2)求运算 的单位元、所有可逆元素的逆元.
证明：Z
b a b a Z b a ∈-+=∈∀2,, 4
)2()(,,,-++=-+=∈∀c b a c b a c b a Z c b a 4)2()(-+=-+=b a c b a c b a ，所以结合律成立.
2是单位元：a
a a a Z a 2222,==-+=∈∀Z a ∈∀有逆元Z a a ∈-=-41：a a a a a a )4(024)4(-==--+=-.
所以>< ,Z 是一个群.。