一、填空
1.下列集合中， 对普通加法和普通乘法都封闭。
（ ）
（A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{}
N n n ∈2
2、在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的？ （ ） （A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a -
3、有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？
（ ） （A ）b a b a =* （B ）()1ln 22++=*b a b a
（C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=*
4、下列运算中，哪种运算关于整数集I 不能构成半群？
（ ） （A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=*
5．设代数系统〈A ，·〉，则（ ）成立.
A ．如果〈A ，·〉是群，则〈A ，·〉是阿贝尔群
B ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉是循环群
C ．如果〈A ，·〉是循环群，则〈A ，·〉是阿贝尔群
D ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉必不是循环群
6．设〈L ,∧∨,〉是格，〈L ，≤〉是由这个格诱导的偏序集，则（ ）不成立.
A ．对任意a L b a ,,∈≤b b a b =∨↔
B ．∧∨对是可分配
C ．∧∨,都满足幂等律
D ．〈L,≤〉的每对元素都有最小上界与最大下界
7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（ ）是格.
8. 已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为( )
9. 6阶有限群的任何子群一定不是（）。
(A) 2阶(B) 3 阶(C) 4 阶(D) 6 阶
10. 下列哪个偏序集构成有界格（）
(1) （N,≤）(2) （Z,≥）
(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),⊆)
11. 下面代数系统中（G、＊）中（）不是群
A、G为整数集合＊为加法
B、G为偶数集合＊为加法
C、G为有理数集合＊为加法
D、G为有理数集合＊为乘法
12. 设<G、＊> 是阶大于1的群，则下列命题中（）不真。
A、存在零元
B、存在幺元
C、G中每个元素都有逆元
D、运算＊是可结合的
13. 若<H、＊>是<G、＊>的真子群，且｜H︳= n｜G︳= m, 则有
A、n整除m
B、m整除n
C、n整除m且m整除n
D、n不整除m且m不整除n
14. 设〈L,≤〉是一条链，其中｜L︳≧3，则〈L,≤〉是（）
A、不是格
B、有补格
C、分配格
D、布尔格
15. 只含有限个元素的格称为有限格，有限格必是（ ）
A 、有界格
B 、有补格
C 、分配格
D 、布尔格
16、设〈L,≤〉是有补格有界格，若它也是有补格，只要满足（ ）
A 、每个元素都有一个补元
B 、每个元素都至少有一个补元
C 、每个元素都无补元
D 、每个元素都有多个补元
二、填空
1. 设A={2,4,6}，A 上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是 ，零元是
2. 设A={3,6,9}，A 上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元 是 ，零元是 ；
3. 设〈G,*〉是一个群，则
(1) 若a,b,x ∈G ，a *x=b ，则x= ；
(2) 若a,b,x ∈G ，a *x=a *b ，则x= 。
4. 代数系统<G,*>是一个群，则G 的等幂元是
5. 设〈G,*〉是一个群，a,b,c ∈G ，则
(1) 若c *a=b ，则c= ；(2) 若c *a=b *a ，则c= 。
6、<H,*>是<G , *>的子群的充分必要条件是( )。
7、群＜A,*＞的等幂元有 个，是 ，零元有 个
8. 设*是如下表定义的集合{}c b a A ,,=上的运算：
则 * 的单位元为___________；零元为____________；可逆元为_______________.
9．设=〉⋅〈〉⋅〈K G G 的核则的满同态
到群是群ϕϕ,,,2211_____________. 10．格满足的运算律为的运算∧∧〉∨〈,,L ________，________，_______.
11．设〉∧∨〈-,,,B 是布尔代数，其中{}==αβα则,1,,,0B _____________，=β________.
三、证明
1.设<G,·>是群，a ∈G 。
令H={x ∈G|a·x=x·a}。
试证：H 是G 的子群
2. 设群<G,＊>除单位元外每个元素的阶均为2，则<G,＊>是交换群
3. 设半群<S,·>中消去律成立，则<S,·>是可交换半群当且仅当∀a,b ∈S ，（a·b ）2=a 2·b 2。
4. 设R 是实数集，在R 上定义二元运算*，∀x ,y ∈R ，定义
x *y =x +y +2xy
说明*是否满足结合律、交换律？是否存在单位元？若存在请求出．
5. 已知 (L ，*，︒ )是格，且二元运算*和︒满足分配律，∀a ,b ,c ∈L ，化简表达式
((a *b )︒(a *c ))* ((a *b )︒(b *c ))
6. 设()*,G 是群，若对任意G x ∈，有x x =-1，则()*,G 是交换群
设()*,S 是一独异点，H 是S 中所有可逆元素的集合,证明()*,H 是一个群
7. 设Q 2（Q 是有理数集合）上的二元运算 * 定义如下：对任意><><y x b a ,,,
∈Q 2，有>+⋅⋅>=<<*><b y a x a y x b a ，,,（其中，· ，+是有理数乘法与加法运算），求 * 的单位元，零元及每个可逆元的逆元.。