当前位置:文档之家› 《电磁场与电磁波》第4版(谢处方 编)课后习题答案 五章习题解答

《电磁场与电磁波》第4版(谢处方 编)课后习题答案 五章习题解答

五章习题解答5.1 真空中直线长电流I 的磁场中有一等边三角形回路,如题5.1图所示,求三角形回路内的磁通。

解 根据安培环路定理,得到长直导线的电流I 产生的磁场02I rφμπ=B e 穿过三角形回路面积的磁通为d S ψ==⎰B Sg 0002[d ]d d 2d d z ddII zz x x x xμμππ=⎰ 由题5.1图可知,()tan6z x d π=-=,故得到d d dx d x x ψ-==0[2I b μπ5.2 通过电流密度为J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔,如题5.2图所示。

计算各部分的磁感应强度B ,并证明腔内的磁场是均匀的。

解 将空腔中视为同时存在J 和J -的两种电流密度,这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布:一个电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内,另一个电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内。

由安培环路定律,分别求出两个均匀分布电流的磁场,然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

由安培环路定律d CI μ⋅=⎰B l Ñ,可得到电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内的电流产生的磁场为 020222b b b b b b r b b r b r J r B J r μμ⎧⨯<⎪⎪=⎨⨯⎪>⎪⎩ 电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内的电流产生的磁场为 020222a a a a a a r a a r a r J r B J r μμ⎧-⨯<⎪⎪=⎨⨯⎪->⎪⎩ 这里a r 和b r 分别是点a o 和b o 到场点P 的位置矢量。

将a B 和b B 叠加,可得到空间各区域的磁场为圆柱外:220222b a ba b a r r B J r r μ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ ()b r b >圆柱内的空腔外:2022b a a ar B J r r μ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ (,)b a r b r a <> 空腔内: ()0022b a B J r r J d μμ=⨯-=⨯ ()a r a <I题 5.1 图题5.2图式中d 是点和b o 到点a o 的位置矢量。

由此可见,空腔内的磁场是均匀的。

5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场?如果是,求其源变量J 。

(1) 0,r ar H e B H μ== (圆柱坐标)(2) 0(),x y ay ax H e e B H μ=-+= (3) 0,x y ax ay H e e B H μ=-= (4) 0,ar H e B H φμ==(球坐标系)解 根据恒定磁场的基本性质,满足0B ∇⋅=的矢量函数才可能是磁场的场矢量,否则,不是磁场的场矢量。

若是磁场的场矢量,则可由J H =∇⨯求出源分布。

(1)在圆柱坐标中 211()()20r rB ar a r r r rB ∂∂∇⋅===≠∂∂ 该矢量不是磁场的场矢量。

(2) ()()0ay ax x yB ∂∂∇⋅=-+=∂∂ 该矢量是磁场的矢量,其源分布为 20xy zz a x y z ayaxe e e J H e ∂∂∂=∇⨯==∂∂∂- (3) ()()0ax ay x yB ∂∂∇⋅=+-=∂∂ 该矢量是磁场的场矢量,其源分布为 00x y zx y z ax ay e e e J H ∂∂∂=∇⨯==∂∂∂-(4) 在球坐标系中 11()0sin sin B ar r r B φθφθφ∂∂∇⋅===∂∂该矢量是磁场的场矢量,其源分布为22sin 1ctag 2sin 00sin rr r r a a r r ar e e e J H e e θφθθθθθφθ∂∂∂=∇⨯==-∂∂∂ 5.4 由矢量位的表示式()()d 4Rτμτπ''=⎰J r A r 证明磁感应强度的积分公式 03()()d 4Rτμτπ'⨯'=⎰J r RB r 并证明0B ∇⋅=解: 0()()()d 4R τμτπ''=∇⨯=∇⨯=⎰J r B r A r 0()d 4R τμτπ''∇⨯=⎰J r 01()()d 4R τμτπ''-⨯∇=⎰J r03()()d 4R τμτπ''-⨯-=⎰R J r 03()d 4Rτμτπ'⨯'⎰J r R[()]0∇⋅=∇⋅∇⨯=B A r5.5 有一电流分布0()()z rJ r a J r e =≤,求矢量位()A r 和磁感应强度()B r 。

解 由于电流只有z e 分量,且仅为r 的函数,故()A r 也只有z e 分量,且仅为r 的函数,即()()z z A r A r e =。

在圆柱坐标系中,由)(r A z 满足的一维微分方程和边界条件,即可求解出)(r A ,然后由()()r B A r =∇⨯可求出()B r 。

记a r ≤和a r ≥的矢量位分别为1()A r 和2()A r 。

由于在a r ≥时电流为零,所以211001()()z z A A r r J r r r r μ∂∂∇==-∂∂ (a r ≤)2221()()0z z A A r r r r r ∂∂∇==∂∂ (a r ≥)由此可解得3100111()ln 9z A r J r C r D μ=-++222ln )(D r C r A z +=)(1r A z 和)(2r A z 满足的边界条件为 ① 0→r 时,)(1r A z 为有限值② a r =时,)()(21a A a A z z =,ar z a r z rA r A ==∂∂=∂∂21 由条件①、②,有 01=C ,300221ln 9J a C a D μ-=+,2002113J a C a μ-= 由此可解得 320013C J a μ=-,320011(ln )33D J a a μ=-- 故310011()9z A r J r D μ=-+ (a r ≤)3320000111()ln (ln )333z A r J a r J a a μμ=--- (a r ≥)式中常数1D 由参考点确定,若令0=r 时,0)(1=r A z ,则有01=D 。

空间的磁感应强度为211001()()3r r J r φμ=∇⨯=B A e (r a <) 30022()()3J a r r rφμ=∇⨯=B A e (r a >) 5.6 如题5.6图所示,边长分别为a 和b 、载有电流I 的小矩形回路。

(1)求远处的任一点),,(z y x P 的矢量位()A r ,并证明它可以写成 03()4m rp r A r μπ⨯=。

其中m z Iab p e =;题5.6图(2)由A 求磁感应强度B ,并证明B 可以写成0()4I B d μΩπ=-∇ 式中2z r ab r e e d Ω⋅=场点对小电流回路所张的立体角。

解 (1)电流回路的矢量位为 01()d 4CI R μπ'=⎰A r l Ñ 式中:2221[()()]R x x y y z ''=-+-+=22212[2sin (cos sin )]r r x y x y θφφ''''-+++ 根据矢量积分公式d d C S l S ψψ=⨯∇⎰⎰Ñ,有11d d ()C SR R '''=⨯∇⎰⎰l S Ñ 而 11()()RR'∇=-∇ 所以 01()d ()4S I Rμπ'=-⨯∇⎰A r S 对于远区场,y r x r '>>'>>,,所以r R ≈,故01()d ()4S I r μπ'=-⨯∇=⎰A r S 01[d ]()4S I r μπ'-⨯∇=⎰S 01()()4z Iab rμπ-⨯∇=e 03()4m r μπ-⨯-=rp 034m rp r μπ⨯ (2)由于 03()()4m z r p r r A e μπ=-⨯-02sin 4m p r e φμθπ= 故 11(sin )()sin r A rA r r rB A e e φθφθθθ∂∂=∇⨯=-=∂∂03(2cos sin )4m r p r e e θμθθπ+ 又由于 3322cos 2cos sin ()()z r r r r r re e e e θθθθ⋅+=-∇=-∇ 故 00022()()(d )444m z r z r p I I ab r r e e e e B μμμΩπππ⋅⋅=-∇=-∇=-∇ 5.7 半径为a 磁介质球,具有磁化强度为2()z Az B M e =+其中A 和B 为常数,求磁化电流和等效磁荷。

解 磁介质球内的磁化电流体密度为 2()20m z z z Az B Az =∇⨯=-⨯∇+=-⨯=J M e e e等效磁荷体密度为 2()2m Az B Az zρ∂=-∇⋅=-+=-∂M 磁介质球表面的磁化电流面密度为22(cos )mS r az r Aa B θ==⨯=⨯+=J M ne e22(cos )sin Aa B φθθ+e等效磁荷面密度为22(cos )m r ar z Aa B σθ==⋅=⋅+=n Me e22(cos )cos Aa B θθ+5.8 如题5.8所示图,无限长直线电流I 垂直于磁导率分别为1μ和2μ的两种磁介质的分界面,试求:(1)两种磁介质中的磁感10μμ= 2μμ=Ixz题5.8图应强度1B 和2B ;(2)磁化电流分布。

解 (1)由安培环路定理,可得 2I rφπ=H e所以得到 0102I r φμμπ==B H e 22I rφμμπ==B H e(2)磁介质在的磁化强度 0200()12Irφμμμπμ-=-=M B H e则磁化电流体密度 00()1d 1d 1()()0d 2d m zz I rM r r r r rφμμπμ-=∇⨯==⋅=J M e e 在0=r 处,2B 具有奇异性,所以在磁介质中0=r 处存在磁化线电流m I 。

以z 轴为中心、r 为半径作一个圆形回路C ,由安培环路定理,有 01d m CI I μ+=⋅=⎰B l Ñ0Iμμ 故得到 =m I 0(1)I μμ- 在磁介质的表面上,磁化电流面密度为mS zz ==?J M e 00()2rIre μμπμ-5.9 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为0H ,若此平面电流回路位于磁导率分别为1μ和2μ的两种均匀磁介质的分界平面上,试求两种磁介质中的磁场强度1H 和2H 。

相关主题