勾股定理试题分类 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】《数学》八年级下册第十七章勾股定理【题型一】勾股定理的验证与证明1.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角△ABC的三边的关系是.参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出S1+S2＝S3，从而得到：AB2+BC2＝AC2.2.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角△ABC的三边的关系是.参考答案：对于S3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相加法”用面积公式计算三个正方形面积，得出S1+S2＝S3，从而得到：AB2+BC2＝AC2.3.如图，是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗参考答案：由S大正方形＝4S Rt△+S小正方形，得c2＝4×12ab+(b－a)2∴a2+b2＝c2.4.如图，是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗参考答案：由S大正方形＝4S Rt△+S小正方形，得(a+b)2＝4×12ab+c2∴a2+b2＝c2.5.如图，已知∠A＝∠B＝90°且△AED≌△BCE，A、E、B在同一直线上.根据此图证明勾股定理.参考答案：先证明△DCE是等腰直角三角形，再根据梯形面积为三个三角形面积之和得1 2(a+b)2＝2×12ab+12c2,∴a2+b2＝c2.6.如图，一个直立的火柴盒倒下来就可以证明勾股定理，请你根据图形，设计一种证明方法.参考答案：方法类似第5题.7.（2011温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1—1）.图1—2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图1—2中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 .参考答案：10 38.（2010 湖北孝感）[问题情境]BAa图2图1cba勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，着名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。

[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）； [尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a 、b 为底，以a+b 为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理； [知识拓展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明.2<+c ba 其证明步骤如下： ADb a BC ,+= = .又∵在直角梯形ABCD 中有BC AD （填大小关系），即 ， 参考答案：[定理表述]如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么,222c b a =+ [尝试证明]ABE Rt ∆ ≌,,EDC AEB ECD Rt ∠=∠∴∆又90,90=∠+∠∴=∠+∠DEC AEB DEC EDC整理，得.222c b a =+[知识拓展]【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论1.如图， 根据所标数据，确定正方形的面积A ＝ ，B ＝ ，C ＝ . 参考答案：10，144，1600.2.如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c 若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为多少 参考答案：先证两直角三角形全等，得FE ＝BC ，从而得正方形b 的面积为16.3.如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形，探究S a 、S b 和S c 之间的关系. 参考答案：显然S △BCE 32，S △ACD 3b 2 ，S △ABF 34c 2 又a 2+b 2＝c 2∴S a +S b ＝S c .4.如图，以直角三角形的三边向形外作等腰直角三角形，探究S a 、S b 和S c 之间的关系. 参考答案：类似上一题.5. 如图，以直角三角形的三边向形外作半圆，探究S a 、S b 和S c 之间的关系. 参考答案：类似上一题.6. 如图，已知ΔABC 中，∠ACB ＝90°，以ΔABC 的各边为长边向形外作矩形，使其宽为长的一半，则这三个矩形的面积S 1、S 2、S 3之间有什么关系，并证明你的结论.参考答案：类似上一题.7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为多少 参考答案：49cm 2.8.如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是a 、b 、c ，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3 ，则 S 1 ＋S 2 ＋S 3 ＋S 4= . 参考答案：a+c【题型三】利用勾股定理求边长和进行论证 【选择题】bacCBAFEDba cC BAFED abcCBA7cmFEDCBA1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）参考答案：C2.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（）参考答案：C3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为（）5 D.5B.10C.2参考答案：C4.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A.参考答案：B5.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）参考答案：C6.若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（）B. 6C.7或7参考答案：D7.下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）=2，b=3, c=4 =7, b=24, c=25=6, b=8, c=10 =3, b=4, c=5参考答案：A8.要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（）.参考答案：C9.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）.㎝㎝㎝㎝参考答案：B10．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）A. 第三边一定为10B. 三角形的周长为25C. 三角形的面积为48D. 第三边可能为10参考答案：D11．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm参考答案：D12．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定参考答案：A13．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A ．25海里 B. 30海里C. 35海里D. 40海里参考答案：D14. （2010山东临沂）如图，ABC ∆和DCE ∆都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）B.C.D.参考答案：D15. （2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ） cm cm cm cm参考答案：B16. （2010广西南宁）图中，每个小正方形的边长为1，ABC ∆的三边c b a ,,的大小关系式（ ）EDCBABA北南A 东A.b c a <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c <<参考答案：C17. （2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ） A2m参考答案：C18. （2011湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）参考答案：D19. （2011贵州贵阳）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ）参考答案：D20. 直角三角形三边的长分别为3、4、x ，则x 可能取的值有（ ）. A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 无数多个 参考答案：B 斜边可以为4或x,故两个答案.21．如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ） ∶13∶12 ∶13 ∶169参考答案：D22．直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ） D.以上答案都不对 参考答案：C 【填空题】CBA1.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．参考答案：12或7＋7 提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7. 2.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________.参考答案：5123.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．参考答案： 1360，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ； 4.如图，学校有一长方形花圃，长4m ，宽3m 。

，有极少数人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少了 步路（2步为lm ），却踩伤了花草.参考答案：4.5.图1是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC=6 BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图2实线部分）是 .参考答案：76.6．如图，将一根长 24 cm 的筷子，置于底面直径为 5 cm ，高为 12 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯外的长度为h cm ，则h 的取值范围是 .参考答案：11≤h≤12.7.在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=___________.参考答案：9.8.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE=4，AC=10，则AB=_____________.参考答案：6.EDCBA9.已知两条线段的长为9cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.参考答案：15或37.10.在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）b=8，c=17 ，则ABC S ∆= .参考答案：13 6011．（2010辽宁丹东市）已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 参考答案：n )2(12.（2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边_PQ 上，那么△PQR 的周长等于 ． 参考答案：27133.13.（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，E 是CB 的中点，AE =EC ，∠BAC =3∠DBC ，BD =6266+，则AB = ． 参考答案：1214.（2010河南）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠ABC=30°，AB=6.点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA=DE ，则AD 的取值范围是 .ABCD E FG参考答案：2≦ AD < 315.（2010 山东淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为5的线段__________条. 参考答案：816.（2010黑龙江绥化）Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边，在△ABC 外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD 的长为 . 参考答案：4或25或1017. (2011重庆綦江) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC ＝6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE ＝ 米时,有DC 2＝AE 2＋BC 2. 参考答案：314【解答题】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6，AC=8， 求AB 、CD 的长参考答案：在Rt △ABC 中，BC=6，AC=8 ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２ＡＢ＝8436+＝100＝１０ ＣＤ＝AB BC AC ⋅＝1086⨯＝ 2.如图，是由五个边长相同的小正方形组成的“红十字”形，A 、B 、C 均在顶点上，试求∠BAC 的大小.参考答案：∠BAC=45°3.（2011四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．D CBA图图图参考答案：由题意可得，花圃的周长=8+8+82824.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；⑵在图2、图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．(两个三角形不全等)5.已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，D 是AC 的中点. 求证：AB 2+3BC 2=4BD 2.参考答案：∵△ABC 中，∠C=90°， ∴AB 2＝BC 2+AC 2，∴AB 2+3BC 2＝4BC 2+AC 2， 又BC 2＝BD 2－CD 2，∴AB 2+3BC 2＝4BD 2－4CD 2+AC 2， 又AC ＝2CD ，∴AB 2+3BC 2=4BD 2.【题型四】勾股定理在非直角三角形中的应用【选择题】1.若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 参考答案：C2．一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长度，但他却把这三个数据弄混了，请你帮他找出来，应该是（ ）A. 13，12，12 B ．12，12，8 C ．13，10，12 D ．5，8，4 参考答案：C【填空题】1.等腰三角形ABC的面积为12㎝2，底上的高AD＝3㎝，则它的周长为㎝. 参考答案：由面积求出底边为8，进而求出腰围5，故周长为18.2.（2010四川宜宾）已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 错误!，AB=错误!+1，则边BC的长为．参考答案：2.3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要__________元．参考答案：150a.【解答题】1.如图，ΔABC中，AC＝12，∠B＝45°，∠A＝60°.求ΔABC的面积.参考答案：54183(作CD⊥AB于D)2.已知等腰三角形腰长为10，底边长为16，求它的面积.参考答案：48（作底边上的高）3．已知：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13．求△ABC的面积．参考答案：作任一边上的高，用勾股定理建立方程，求解.【题型五】利用勾股定理求不规则图形的面积1.如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2.求四边形ABCD的面积.参考答案：63（分别延长AD、BC或分别延长AB、DC转化成特殊的直角三角形研究）2.如图，每个小正方形的边长都是1，求图中格点四边形ABCD的面积.150°30米20米C BA4260°D BADA参考答案：252（用正方形面积减去四个直角三角形面积或转化成 以AC 为底的两个三角形求解）3.如图，四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，CD ＝12cm ，DA ＝13cm ，且∠ABC ＝900，求四边形ABCD 的面积。