管理运筹学——管理科学方法谢家平第一章第一章1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。

决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2.（1）设立决策变量；（2）确定极值化的单一线性目标函数；（3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量；（4）非负约束。

3.（1）唯一最优解：只有一个最优点（2）多重最优解：无穷多个最优解（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

6. 计算步骤：第一步，确定初始基可行解。

第二步，最优性检验与解的判别。

第三步，进行基变换。

第四步，进行函数迭代。

判断方式：唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数的值仍然保持原值。

如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同时达到最优，为无穷多最优解。

无界解：若某个非基变量xNk 的检验数σk> 0 ，但其对应的系数列向量P k' 中，每一个元素a ik' (i=1,2,3,…,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。

无可行解：当引入人工变量，最末单纯型发表中的基变量含有非零的人工变量，即人工变量不能全出基，则无可行解。

7. 单纯形法需要有一个单位矩阵作为初始基。

当约束条件都是“≤”时，加入松弛变量就形成了初始基，但实际问题中往往出现“≥”或“＝”型的约束，这就没有现成的单位矩阵。

需要采用人造基的办法，无单位列向量的等式中加入人工变量，从而得到一个初始基。

人工变量只有取0 时，原来的约束条件才是它本来的意义。

为保证人工变量取值为0，令其价值系数为-M（M 为无限大的正数，这是一个惩罚项）。

如果人工变量不为零，则目标函数就不能实现最优，因此必须将其逐步从基变量中替换出。

对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取M。

8.9.10.（1）C1<0，C2<0，且d≥0（2）C1=0，C2<0 或C2=0，C1<0，a1>0（3）C1> 0，d>0，a2>0，d/4>3/a2（4）C2>0，a1≤ 0（5）x1为人工变量，且C1为包含M 的大于0 数，d/4>3/a2；或者x 数，a1>0，d>0。

11.2为人工变量，且C2为包含M 的大于012. 设xij为电站向某城市分配的电量，建立模型如下：13. 设x1为产品A的产量，x2为产品B的产量，x3为副产品C的销售量，x4为副产品C的销毁量，问题模型如下：第二章1.（2）甲生产20 件，乙生产60 件，材料和设备 C 充分利用，设备 D 剩余600 单位（3）甲上升到13800 需要调整，乙下降60 不用调整。

（4）非紧缺资源设备 D 最多可以减少到300，而紧缺资源—材料最多可以增加到300，紧缺资源—设备 C 最多可以增加到360。

2.设第一次投资项目i为x i，第二次投资项目i设为x i' ，第三次投资项目i设为x i′ 。

3.设每种家具的产量为4.设每种产品生产x i5．（1）设x i为三种产品生产量通过Lindo 计算得x1= 33, x2= 67, x3= 0, Z = 733（2）产品丙每件的利润增加到大于6.67时才值得安排生产；如产品丙每件的利润增加到50/6，通过Lindo计算最优生产计划为：x1=29 ，x2= 46 ，x3= 25 ，Z = 774.9 。

（3）产品甲的利润在[6,15]范围内变化时，原最优计划保持不变。

（4）确定保持原最优基不变的q的变化范围为[-4,5]。

（5）通过Lindo 计算，得到x1= 32, x2= 58, x3= 10, Z = 707第三章1.原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润， 后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同 时又是资源消耗带来的。

对偶变量的值 y i 表示第 i 种资源的边际价值，称为影子价值。

可以把对偶问题的解 Y定义 为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。

2.若以产值为目标，则 y i 是增加单位资源 i对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shad ow Price ）。

即有“影子价格=资源成本+影子利润”。

因为它并不是资源的实际价格，而是 企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定， 所以叫影子价格。

可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时， 企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂 不购进资源，减少不必要的损失。

3.（1）最优性定理：设 ， 分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C = b ，则 ，a 分别为各自的最优解。

（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值 相等。

（3）互补松弛性：原问题和对偶问题的可行解 X 、Y 为最优解的充分必要条件是 ,。

（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形法表中，初始基变量的检验数的负值。

若 −Y S 对应原问题决策变量 x 的检验数； − Y 则对应原问题松弛变量x S 的检验数。

4.表示三种资源的影子利润分别为 0.89、4.89 和 0，应优先增加设备 C台时以及增加材 料可获利更多；14.89>12，所以设备 C可以进行外协加工，200.89<210，所以暂不外 购材料。

5.(1)求出该问题的最优解和最优值；∗ T**x1= x2= x4= 0, x3= 2, x5= 6, Z = 4(2)该问题的对偶问题的最优解和最优值：y1= 2 ，y2== 0 ，w = 4(3) 分别为2、0，对产值贡献的大小；第一种资源限量由 2 变为4，最优解不会改变。

(4)代加工产品丁的价格不低于2×2+0×3=4。

46. (1)设四种产品产量为x i,i= 1,2,3,4(2)影子价格分别为2、1.25、2.5。

对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购进。

(3)原料丙可利用量在[900,1100] 范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）。

(4)若产品 B 的价格下降了0.5 元，生产计划不需要调整。

第四章1.纯整数规划、0-1 规划、混合整数规划。

2. (1)首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。

若相应的线性规划问题没有可行解，停止计算，这时原整数规划也没有可行解。

(2)定界过程。

对于极大化的整数规划问题，当前所有未分枝子问题中最大的目标函数值为整数规划问题上界；在满足整数约束的子问题的解中，最大的目标函数值为整数规划问题的下界。

当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入剪枝过程。

(3)剪枝过程。

在下述情况下剪除这些分枝：①若某一子问题相应的线性规划问题无可行解；②在分枝过程中，求解某一线性规划所得到的目标函数值Z 不优于现有下界。

(4)分枝过程。

当有多个待求分枝时，应先选取目标函数值最优的分枝继续进行分枝。

选取一个不符合整数条件的变量xi作为分枝变量，若xi的值是bi* ，构造两个新的约束条**件：x i≤[b i] 或x i≥[b i]+1,分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。

对任一个子问题，转步骤(1)。

最整数解为：x1=4, x2=2, z = 3404. 解：设,t ij为个人对于个任务的时间耗费矩阵，则目标函数为：约束条件为：解之得：x= 1 ，x= 1 ，x= 1，x= 1 ，其余均为0，z=70，即任务A由12213344乙完成，任务B由甲完成，任务C由丙完成，任务D由丁完成。

5. 解：设在第i天应聘的雇员人数为x i。

数学模型为：解得：x1=0，x2=4，x3=32，x4=10，x5=34，x6=10，x7=4，Z=94。

第五章1. 解：建立目标约束。

（1）装配线正常生产设生产A, B,C型号的电脑为x1, x2 , x3（台），d +−1为装配线正常生产时间未利用数，d1为装配线加班时间，希望装配线正常生产，避免开工不足，因此装配线目标约束为（2）销售目标优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子，A, B,C三种型号的电脑每小时的利润是，，，因此，老客户的销售目标约束为再考虑一般销售。

类似上面的讨论，得到（3）加班限制首先是限制装配线加班时间，不允许超过200h，因此得到其次装配线的加班时间尽可能少，即写出目标规划的数学模型经过Lingo计算得到x1= 100，x2= 55，x3=80。

装配线生产时间为1900h，满足装配线加班不超过200h的要求。

能够满足老客户的需求，但未能达到销售目标。

销售总利润为100×1000+55×1440+80×2520=380800（元）。

2. 解：假设三个工厂对应的生产量分别为300，200，400。

（1）求解原运输问题由于总生产量小于总需求量，虚设工厂4，生产量为100个单位，到各个用户间的运费单价为0。

用LINGO软件求解，得到总运费是2950元，运输方案如下表所示。

（2）下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。

设xij工厂i(i =1,2,3)调配给用户j( j = 1,2,3,4)的运量，c ij表示从工厂i 到用户j的单位产品的运输费用，a j( j = 1,2,3,4)表示第j个用户的需求量，b i(i =1,2,3)表示第i个工厂的生产量。