离散时间信号的产生及信号的卷积和运算
实验报告
班级：___________ 姓名：__________ 学号:____________
一、实验目的和原理
实验原理：
（一）DTFT 和DFT 的定义及其相互关系：
序列x[n] 的DTFT 定义：∑=∞
-∞
=-n jn ωj ω
x[n]e )X(e
它是关于自变量ω的复函数，且是以π2为周期的连续函数。

)X(e j ω
可以表示为：
)(e jX )(e X )X(e j ωim j ωre j ω+=
其中，)(e
X j ω
re 和)(e X j ωim 分别是)X(e j ω的实部和虚部；还可以表示为：
)(ωj j ωj ωe )X(e )X(e θ=
其中，)X(e
j ω
和}arg{)()X(e j ω=ωθ分别是)X(e j ω的幅度函数和相位函数；
它们都是ω的实函数，也是以π2为周期的周期函数。

序列x[n]的N 点DFT 定义：
∑∑-=-=-===10
1
22][][)(][N n kn
N
N n kn N
j
k N
j
W n x e
n x e
X k X ππ
][k X 是周期为N 的序列。

)X(e j ω与][k X 的关系：][k X 是对)X(e j ω在一个周期中的谱的等间隔N
点采样，即：
k N
j ω)X(e k X πω2|
][=
=，
而)X(e j ω
可以通过对][k X 内插获得，即：
]2/)1)][(/2([1
)
22sin()
22sin(
]
[1----=⋅--=
∑N N k j N k j ω
e N
k N k
N k X N
)X(e πωπωπω
(二) 线性时不变离散时间系统的变换域表示：
LTI 离散时间系统的时域差分方程为：
∑∑==-=-M
k k N
k k
k n x p k n y d
)()(
(1) 传递函数：
对上面的差分方程两边求z 变换，得：
∑∑∑∑=-=-=-=-=⇒
=N
k k
k
M
k k
k
M
k k k N
k k
k z d
z
p z X z Y z p z X z
d z Y 0
00
)
()
()()(
我们定义LTI 离散时间系统的输出的Z 变换Y(z)与输入的Z 变换X(z)的比值为该系统的传递函数，即)
()
()(z X z Y z H =
为系统的传递函数。

N
N M M z d z d d z p z p p z D z p z H ----++++++=
=......)()()(110110
分解因式 ∏-∏-=∑∑=
=-=-=-=-N
i i M
i i N
i i
k M
i i
k z z K
z
d z p z H 11
11
0)1()1()(λξ ，其中i ξ和i λ称为零、极点。

利用系统的传递函数)(z H ，我们可以分析系统的零极点，稳定性及实现结构等特点。

(2) 频率响应：
因为大多数离散时间信号都可以分解为n j e ω的线性组合，所以研究输入n
j e ω-的响应具有极大的意义，即当输入为n j e n x ω=][时，输出为：
)()()(][)
(ωωωωωj n j m m
j n
j m n j m e H e e
m h e
e
m h n y ===
∑∑∞
-∞
=--∞
-∞
=
这里，∑∞-∞
=-=
n n
j j e
n h e
H ωω
)()(是h(n)的DTFT ，称为LTI 离散时间系统的频率
响应。

利用系统的频率响应)(ωj e H ，我们可以分析系统对各种频率成分的响应特性，并推出系统的特性（高通，低通，带通，带阻，线性相位等）。

(3) 系统传递函数与频率响应之间的关系：
从前面的推导可以看出，系统的传递函数是系统冲击响应序列的Z 变换，而系统的频率响应是冲击响应的DTFT ，因此传递函数)(z H 与频率响应)(ωj e H 的关系为：
ωωj e z j z H e H ==|)()(
ωωω
ωωωωjN N j jM M j j j j e
d e d d e p e p p e D e p e H ----++++++==......)()()(1010
实验目的：
信号的变换域分析是信号处理中一种有效的工具。

在离散信号的时域分析中，我们通常将信号表示成单位采样序列][n δ的线性组合，而在频域中，我们将信号表示成复变量n j e ω-或n N
j e
π
2-的线性组合。

通过这样的表示，可以将时域的离散序
列映射到频域以便于进一步的处理。

线性时不变（LTI ）离散时间系统的特性完全可以用其冲击响应序列h[n]来表示，则前面给出的离散时间信号的变换分析手段也可以用于离散时间系统的分析中。

在LTI 的离散时间系统变换域分析中，我们常用传递函数H(z)和频率响应H(e jw )来表示系统。

在本实验中，将学习利用MATLAB 计算离散时间信号的DTFT 和DFT ，并加深对其相互关系的理解。

通过使用MATLAB 函数对离散时间系统的一些特性进行仿真分析，以加深对离散时间系统的零极点、稳定性，频率响应等概念的理解。

二、实验过程
（1）num=[0.0518 -0.1553 0.1553 0.0518]; den=[1 1.2828 1.0388 0.3418];
w=0:0.001:2*pi;
H=freqz(num,den,w);
figure
subplot(221)
plot(w,real(H))
title('ʵ²¿')
grid
subplot(222)
plot(w,imag(H))
title('Ð鲿')
grid
subplot(223)
plot(w,abs(H))
title('·ù¶È')
grid
subplot(224)
plot(w,unwrap(angle(H)))
title('Ïàλ')
grid
（2）n1=0:15; n2=0:31 N=32;
x1=cos((5*pi*n1)/16) x2=cos((5*pi*n1)/16) X1=fft(x1);
X2=fft(x2,N);
subplot(211)
stem(n1,abs(X1))
title('16µãµÄDFT') subplot(212)
stem(n2,abs(X2))
title('32µãµÄDFT')
（3）num=[0.0528 0.797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528] den=[1 -1.8107 2.4947 -1.8801 0.9537 -0.2336]
w=0:0.004:2*pi;
h=freqz(num,den,w)
subplot(2,2,1)
plot(w/pi,abs(h));
title('·ù¶ÈÆ×')
subplot(2,2,2)
plot(w/pi,angle(h));
title('ÏàλÆ×')
[z,p,k]=tf2zp(num,den)
disp('Áãµã');disp(z);
disp('¼«µã');disp(p);
subplot(2,2,3);
zplane(num,den);
title('Á㼫µãͼ')。