数学文化课程报告欧拉公式的证明与应用一.序言------------------------------------------------------------------------2二.欧拉公式的证明--------------------------------------3极限法 --------------------------------------3指数函数定义法-------------------------------4分离变量积分法-------------------------------4复数幂级数展开法-----------------------------4变上限积分法---------------------------------5类比求导法-----------------------------------7三.欧拉公式的应用求高阶导数-----------------------------------7积分计算------------------------------------8高阶线性齐次微分方程的通解------------------9求函数级数展开式----------------------------9三角级数求和函数----------------------------10傅里叶级数的复数形式-------------------------10四.结语------------------------------------------------11参考文献-----------------------------------------------11一．序言欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。
本文关注的欧拉公式x i x e ixsin cos +=，在复数域中它把指数函数联系在一起。
特别当π=x 时,欧拉公式便写成了01=+πi e ，这个等式将最富有特色的五个数π,,,,10e i 绝妙的联系在一起，“1是实数的基本单位，i 是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代表性。
i 源于代数，π源于几何，e 源于分析，e 与π在超越数之中独具特色。
这五个数看来是互不相关的数，居然和谐的统一在一个式子中。
”[2]公式01=+πi e 成为人们公认的优美公式，被视为数学美一个象征。
这充分揭示了数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教育质量具有重要意义。
二. 欧拉公式的证明欧拉公式x i x e ix sin cos +=有广泛而重要的应用，关于该公式的证明方法目前有如下六种：首先，欧拉本人是从数学中两个重要极限出发，采用初等方法“推导”出这个公式的；其次是复指数函数定义法[2]；另外从对数函数特征性质xdx x d 1ln =或x x e dxde =出发[3]，利用微分方程分离变量积分法；再者采用复数幂级数展开式法来验证[3]；再其次采用变上限积分法验证；最后利用Lagrange 中值定理的推论来证明[3]。
极限法当0=x 时，欧拉公式显然成立； 当0≠x 时，考虑极限),(,)1(lim N n R x nix nn ∈∈+∞→， 一方面，令ixn t =则有ix ix t t n n e tn ix =+=+∞→∞→])11[(lim )1(lim ；（1）另一方面，将nix +1化为三角式，得))](sin(arctan ))n([cos(arcta )(112nxi n x n x n ix ++=+； 由棣莫弗公式得))]arctan(sin())arctan([cos(])(1[)1(22nxn i n x n n x n ix nn ++=+，而x nxn n x n n n sin )arctan(lim sin ))arctan(sin(lim ==∞→∞→， 所以有,sin cos )1(lim x i x nixn n +=+∞→ （2）由（1）、（2）两式得x i x e ix sin cos +=。
指数函数定义法因为对任何复数),(,R y x iy x z ∈+=，复指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+[4] 所以，当复数z 的实部x=0时，就得y i y e iy sin cos +=。
分离变量积分法设复数)(,sin cos R x x i x z ∈+=,两边对x 求导数，得iz x i x i x i x i x i x dxdz =+=+=+-=)sin (cos cos sin cos sin 2，分离变量并对两边积分，得⎰⎰=idx dz z1，c ix z +=ln ， 取0=x ，得0,0sin cos ==+=c x i x z ， 故有ix z =ln ，即x i x e ix sin cos +=。
复数幂级数展开法)(,)!2()1(02R x n x n nn ∈-=∑+∞=，)(,)!12()1(0122R x n x n n n ∈+-=∑+∞=++，)(,!)(0R x n ix n n∈=∑+∞=，ix n ne n ix ==∑+∞=0!)(。
变上限积分法 考虑变上限积分dt t y⎰+0211因为y t dt t y yarctan arctan 11|002==+⎰， 又因为)]1ln(1)([ln 222-+++=y i y i 。
再设 θ=y arctan ，由此得θtan =y ，即222222))sin()ln(cos(2))(sin )cos()sin(2)(ln(cos 2)sin cos sin 2ln(cos 2θθθθθθθθθθ-+-=-+--+-=--=i ii i ii i))sin()ln(cos(θθ-+-=i i ；令 θ-=x))sin()ln(cos()(θθθ-+-=-i i ,即有x i x e ix sin cos +=。
类比求导法构造辅助函数xi x e x f xsin cos )(+=,为在),(+∞-∞=I 上处处有ix e 和x i x sin cos +可导，且0sin cos ≠+x i x ，所以在区间),(+∞-∞=I 上，)(x f 处处可导，且02sin 2cos )cos sin sin cos (=+-+-=xi x x i x x x i e ix ; 根据Lagrange 微分中值定理的一个重要推论“如果函数f(x)在区间I 上的导数恒为0,那么)(x f 在区间I 上是一个常数”， )(x f 在区间I 上是一个常数,即存在某个常数C ，使得),(+∞-∞=∈∀I x ，都有c x f ≡)(; 又因为1)0(=f ，所以1=c ，从而1)(≡x f ，即x i x e ix sin cos +=。
三. 欧拉公式在高等数学的应用举例欧拉公式除了在初等数学中诸如证明一些三角恒等式有十分重要的应用外，在高等数学中也有极为广泛的应用，分以下几个方面各举一个例子来说明。
求高阶导数设)(,4cos )()(3x f x e x f n x 求-=。
解: 设34arctan ,4sin )(3-==-ϕx e x g x ,并记)()()(x ig x f x F +=， 根据欧拉公式，有)]4sin()4[cos()5(3x n i x n e x n +++-=-ϕϕ,分离其实部和虚部，即可得所求之结果)34arctan 4cos()5(3)(n x e f x n n --=-。
积分计算求不定积分：xdx xe x 3sin 2⎰和xdx xe x3cos 2⎰。
解：记xdx xe x g xdx xe x f x x 3sin )(,3cos )(22⎰⎰==，则⎰⎰+=+xdx xe i xdx xe x ig x f x x 3sin 3cos )()(22 ,c x x x x e x x x x e c x i x i x x e c e i x x e ce i e x i c e i e x i c e i e x i c e i e x i xde i dx x i x xe xx x ix x x i xi x i x i x i x i x i x i x i x +++-+-++=++⋅--+=+⋅--+=+++⋅-=+++⋅-=++-⋅+=++-⋅+=+=+=+++++++++⎰⎰]3sin )526(cos )3912[(169]3sin )1239(cos )526[(169)3sin 3(cos ])1239()526[(169])1239()526[(16916912516939261691251332)32(1321]321[321321)3sin 3(cos 22232)32()32()32()32()32(2)32()32()32()32(2 分离实部和虚部（上式中c 为任意复数，1c 和2c 分别为其实部和虚部）222]3sin )526(cos )3912[(1693sin C x x x x e xdx xe xx+++-=⎰。
高阶线性常系数齐次微分方程的通解 求微分方程014412'''')5(=+-y y y 的通解。
解：因为原方程的特征方程为:0]108)6[(,0144122235=+-=+-λλλλλ即,可知有一个实数特征根为01=λ， 其余四个特征根由i e i 3212366πλ±=+=，可求得另四个特征根为： 即两对共轭复根i 33±和i 33±-，所以原方程组通解为：)3sin 3cos ()3sin 3cos (5433231x C x C e x C x C eC y xx++++=-。
求函数的级数展开式展开函数)3sin 53cos 4()(4x x e x f x +=为麦克劳林级数。
解：作辅助函数x e x g x 3cos )(41=, x e x g x 3sin )(42=,x i xi x e e e x ig x g x G )34(3421)()()(+==+=,并记43arctan =α，则有G(x)的麦克劳林展开式分离其实部和虚部，则有∑∞==01!cos 5)(n nn x n n x g α,nn n x n n x g ∑∞==02!sin 5)(α,所以n n n x n n n x g x g x f )sin 5cos 4(!5)(5)(4)(021αα+∑=+=∞=,(43arctan=α)。