特殊平行四边形的性质与判定专题练习
1. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C 重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为______．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()
A．2 5 B．3 5 C．5 D．6
3．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a.将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝________．
4. 如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
45 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接AF.
(1)求证：FB＝AO；
(2)当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？证明你的结论．
6. 把一个长方形的纸片按如图所示折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()
A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°
7．如图，两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合部分的四边形ABCD是______，若AD ＝6，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为_______．
8．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)对角线AC的长是____，菱形ABCD的面积是____；
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否会发生变化？请说明理由；
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．
9. 如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC.
(1)请判断四边形ABCD是否是正方形？若是，写出证明过程；若不是，说明理由；
(2)延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数．10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边CD，AD上的点，且CE＝DF.AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是()
A．AE＝BF B．AE⊥BF C．AO＝OE D．S△AOB＝S四边形DEOF
11．如图①，在正方形ABCD 中，P 是BD 上的一点，点E 在AD 延长线上，且PA ＝PE ，PE 交CD 于点F.
(1)求证：PC ＝PE ；
(2)求∠CPE 的度数；
(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．
答案：
1. 4.8 分析：连接AP ，由题中条件可证四边形AEPF 为矩形，从中可得AP ＝EF ，只要求出AP 的最小值即可，当AP ⊥BC 时，AP 取得最小值．
2. C
3. 23a
4. 解：(1)在▱ABCD 中，AB ∥CD ，∵DF ＝BE ，∴四边形BFDE 为平行四边形，∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴四边形BFDE 是矩形 (2)由(1)可得∠BFC ＝90°，在Rt △BFC 中，由勾股定理可得BC ＝5，∴AD ＝BC ＝5，∴AD ＝DF ，∴∠DAF ＝∠DFA ，∵AB ∥CD ，∴∠DFA ＝∠FAB ，∴∠DAF ＝∠FAB ，∴AF 平分∠DAB
5. 分析：(1)可通过证△BEF ≌△OEC 及利用平行四边形的性质得证；(2)欲得到菱形AFBO ，则必须有条件AO ＝BO ，此时▱ABCD 所满足的条件即可确定．
解：(1)∵BF ∥AC ，∴∠BFE ＝∠OCE ，又∵BE ＝OE ，∠BEF ＝∠OEC ，∴△BEF ≌△OEC(AAS)，∴BF ＝OC ，又∵OC ＝OA ，∴BF ＝OA (2)当平行四边形ABCD 是矩形时，四边形AFBO 是菱形．理由：∵FB ∥AO ，且FB ＝OA ，∴四边形AFBO 是平行四边形，∵平行四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ，∴四边形AFBO 是菱形
6. D
7. 菱形 18 3
8. (1) 12 96
(2) OE ＋OF 的值不变．理由：连接AO ，AC ，AC 交BD 于点G ，则S △ABD ＝S △ABO ＋S △ADO ，∴12BD ·AG ＝12AB ·OE ＋12AD ·OF ，即12×16×6＝12×10·OE ＋12×10·OF ，可得OE ＋OF ＝9.6，即OE ＋OF 的值是定值，故不变
(3) 变化，同(2)方法可求得OE －OF ＝9.6
9. 分析：(1)由AAS 可证△ABP ≌△BCE ，可得AB ＝BC ，即可得出结论；(2)连接AC ，由△ABP ≌△BCE 可得AP ＝BE ＝CF ，可证四边形ACFP 是平行四边形，从而由∠ACB ＝∠BGP 可得结果．
解：(1)四边形ABCD 为正方形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，即∠ABP
＋∠PBC＝90°，∵AP⊥BP，∴∠ABP＋∠PAB＝90°，∴∠PBC＝∠PAB，∵CE⊥BP，∴∠APB＝∠BEC＝90°，又∵BP＝CE，∴△ABP≌△BCE(AAS)，∴AB＝BC，∴矩形ABCD为正方形(2)连接AC，∵△ABP≌△BCE，∴AP＝BE，∵BE＝CF，∴AP＝CF，∵AP⊥BP，CE⊥BP，∴AP∥CF，∴四边形ACFP是平行四边形，∴AC∥PF，∴∠ACB＝∠BGP，∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ACB＝45°，∴∠BGP＝45°
10. C
11. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)，∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE(2)∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP ＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠FCP＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∠EDF＝90°，∴∠CPE＝∠EDF＝90°(3)AP＝CE.理由：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴∠ADC ＝120°，∴∠EDF＝60°，同(2)可得∠CPE＝∠EDF＝60°，又∵PC＝PE，∴△PCE是等边三角形，∴PE＝CE，∵PA＝PE，∴AP＝CE。