24．如图，△ ABC中，∠ BAC=90°， AB=AC，AD⊥ BC，垂足是 D，AE 平分∠ BAD，交 BC于点 E. 在△ ABC外有一点 F，使 FA⊥AE， FC⊥ BC.
（1）求证： BE=CF；
（2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD于点 N，连接 ME.
求证：① ME⊥ BC；② DE=DN.
24 题图
24、如图，在△ ABC中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ BC，E 为 AC边的中点，过点 A 作AD⊥ AB
交
BE的延长线于点D，
CG平分∠ ACB交 BD于点 G，F 为 AB边上一点，连接CF，且∠ ACF＝∠ CBG。

求证：（ 1） AF＝ CG；
（ 2） CF＝ 2DE C
D
E
G
A F B
25.在△ ABC中， AB=AC，∠ A=60°，点 D 是线段 BC的中点，∠ EDF=120°， DE与线段 AB相交于点 E，DF与线段 AC（或 AC的延长线）相交于点 F.
（ 1）如图 1，若 DF⊥ AC，垂足为F， AB=4，求 BE 的长；
（ 2）如图 2，将（ 1）中的∠ EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC 相交于点 F. 求证：
BE CF 1 AB
2；
（3）如图 3，将（ 2）中的∠ EDF继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使
点 F，作 DN⊥ AC于点 N，若 DN=FN，求证：BE CF
3( BE CF ) .
A A
E
E F
F DF 与线段 AC的延长线交与
A
E
N
B D
C B D
C B
D C
25题图 1 25题图
2
25题图 3
F
25．如图 1，在△ ABC中，ACB=90°，BAC=60°，点 E 角平分线上一点，过点 E 作 AE 的垂线，过点 A 作AB 的线段，两垂线交于点 D，连接 DB，点 F 是 BD的中点， DH⊥AC，垂足为 H，连接 EF， HF。

（ 1）如图 1，若点 H 是 AC的中点， AC=2 3，求 AB，BD的长。

（2）如图 1，求证： HF=EF。

（3）如图 2，连接 CF， CE，猜想：△ CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。

图
1
图
2
25.在△ ABC中，∠ B=45°，∠ C=30°，点 D 是 BC上一点，连接 AD，过点 A 作 AG⊥ AD.在 AG上取点 F，连接 DF. 延长 DA至 E，使 AE=AF，连接 EG， DG，且 GE=DF.
（ 1）若AB 2 2 ，求BC的长；
（ 2）如图 1，当点 G在 AC上时，求证：BD 1
CG；
2
AB
（ 3）如图 2，当 G在 AC的垂直平分线上时，直接写出的值.
CG
已知△ ABC 是等腰三角形，∠ BAC=90°， CD=1/2BC ， DE ⊥ CE ， DE=CE ，连接 AE ，点 M 是 AE 的中点 . (1) 如图 1，若点 D 在 BC 边上，连接 CM ，当 AB=4时，求 CM 的长；
（ 2）如图 2，若点 D 在△ ABC 的内部，连接 BD ，点 N 是 BD 中点，连接 MN ，NE ，求证 MN ⊥ AE ；
（ 3）如图 3，将图 2 中的△ CDE 绕点 C 逆时针旋转，使∠ BCD=30°，连接 BD ，点 N 是 BD 中点，连接 MN ， 探索
MN
的值并直接写出结果
AC
24．如图，ABC 中， A 60 ，在AC 上截取AD AB ， E 为AB 上一点，且BE CD ，过点 E 作BD 的垂线，分别交BD、BC 于F 、 G ，连接EC 交 BD 于H 。

(1) 若E为AB 的中点，BD 4 ，求EF 的长；
(2) 求证：FH DH 1 BE 。

2
24．已知如图，Rt△ABC 中，∠ BAC=90 °， AB=AC， D 是 AC 的中点，过 C 作 CE⊥ BD 交 BD 的延长线于E，连结 AE，过 A 作 AF⊥ AE 交 BD 于 F .
（1）求证：△ AEF 是等腰直角三角形；
（2）连结 CF ，求证： CF =AC .
A
E
D
F
B C
第 24 题图
24. 已知ACD 与AGF 都为等腰直角三角形，GAF CAD 90 .连接GD、CF，N为线段GD的中点，连接AN .
（1）求证：2AN CF
（2）求证：AN CF
24.如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， CD⊥AB于点 D，E、F 分别为 BC、AB上的点， AE⊥ CF于点G，交 CD于点 H.
（1）求证： AH=CF；G
（ 2）若 CE=BF，求证： BE=2DH.
N
C
A
F
D
25．在△ ABC 中， AC=BC ，D 是边 AB 上一点， E 是线段 CD 上一点，且∠AED= ∠ ACB = 2∠ BED ．
（ 1）如图（ 2）如图1，若∠
1，若∠
BED =45°，点 E 是 CD
ACB =90°，求证：AE
的中点，
2BE ；
AD= 2 ，求线段BD 的长度；
（ 3）如图 2，若∠ ACB =60°，猜想 AE 与 BE 的数量关系，并证明你的结论.
C
C
E
E
A D
B A D B
图 1 图 2
24.如图，在△ ABC 中，∠ ACB=45°， AD 是△ ABC 的高，在 AD 上取点 E，使得
DE =DB ，连接 CE 并延长，交边 AB 于点 F，连接 DF .
(1) 求证： AB=CE； (2) 求证： BF+EF= 2 FD A
F E
B D C
24.如图，△ ABC 中，∠ ABC= 45°，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，过点 B 作 BM⊥ AC 于点 M， BM 交 CD 于点
E，且点 E 为 CD 的中点，连接 MD ，过点 D 作 ND ⊥ MD 于点 D， DN 交 BM 于点 N．
（ 1）若 BC= 2 2 ，求△BDE的周长；
A
（ 2）求证： NE－ ME=CM ．
D
M
E
N
B C
第 24 题图
24．已知等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC BC ，点G在 BC 上，连接 AG ，过C作 CF ⊥
AG ，垂足为点E，过点B作BF⊥ CF 于点F，点D是AB的中点，连接DE 、 DF ．
（1）若∠CAG = 30°，= ，求BG 的长；
EG 1
（2）求证：∠AED =∠ DFE
C
G
E
A D B
F
24. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB=45°， AD 是△ ABC 的高，在AD 上取点 E，使
得 DE =DB ，连接CE 并延长，交边AB 于点F，连接DF .
(1) 求证：AB=CE； (2) 求证：BF+EF= 2 FD A
F E
B D C。