第二章综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－ABCD中，既与AB共面也与CC共面11111的棱的条数为()A．3B．4C．5D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－ABCD中，异面直线AB，AD所成的角等111111于()A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()∥α，b．a?αα，b?αBA．a?C．a⊥α，b⊥αD．a?α，b ⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；∥b，则a，b与③若ac所成的角相等；∥c. ，则⊥ca④若a⊥b，b其中真命题的个数为()A．4B．3C．2D．17．在正方体ABCD－ABCD中，E，F分别是线段AB，BC11111111上的不与端点重合的动点，如果AE＝BF，有下面四个结论：11∥∥平面ABCD. 与AC异面；④⊥AA；②EFEFAC；③EF①EF1其中一定正确的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()∥ba b与α所成的角相等，则aA．若，∥∥∥∥b βb，，则β，αaB．若aα∥∥βb，则αβαC．若a?，b?，aD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b1 / 14∥，l，直线ABll，点A∈α，A?β9．已知平面α⊥平面，α∩β＝∥∥，则下列四种位置关系中，不一定成立α，n直线AC⊥l，直线mβ)的是(∥m．ACAB⊥m BA．∥β．AC⊥βDC．AB、D中，E已知正方体ABCD－ABC10．(2012·大纲版数学(文科))1111所成角的余弦值为DF与BB、CC的中点，那么直线AEF分别为111)(34 B. .A．－5533 ．－. DC54＝ACABC的三个侧面与底面全等，且AB＝11．已知三棱锥D－为面的二面角的余与面BCABC为棱，以面BCD3，BC＝2，则以)弦值为(311A. B.C．0D．－23312．如图所示，点P 在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是()60°．B90°A．30°D．．C45°分．把答案填255本大题共5小题，每小题分，共(二、填空题)在题中的横线上________13．下列图形可用符号表示为．2 / 1414．正方体ABCD－ABCD中，二面角C－AB－C的平面角等11111于________．∥平面β，A，C∈α，B设平面．α，D∈β，直线AB与CD交15于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－ABC中，△ABC与△ABC111111都为正三角形且AA⊥面ABC，F、F分别是AC，AC的中点．1111∥；平面CBFF求证：(1)平面AB111.A⊥平面AB(2)平面FACC1111本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定][分析3 / 14理，寻找使结论成立的充分条件．⊥PAP－ABCD中，18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥是E＝90°，ABC，AD＝5，∠DAB ＝∠3ABCD平面，AB＝4，BC＝的中点．CDPAE；(1)证明：CD⊥平面所成的角与平面ABCDPB与平面PAE所成的角和PB(2)若直线的体积．ABCD相等，求四棱锥P－所在的平面垂直于PCD分)2的等边△如图所示，边长为19．(12 BC的中点．2，M为矩形ABCD所在的平面，BC＝2；AM证明：⊥PM(1) 的大小．－D－(2)求二面角PAMCBABC－A棱柱)(2010·(20．本小题满分12分辽宁文，19)如图，111.B⊥C是菱形，BBCC的侧面BA11114 / 14⊥平面CABC；(1)证明：平面AB111∥DC的值．平面BCD，求A且设(2)D是AC上的点，ABD1111112是边长为ABEDABAC＝BC，＝分21．(12)如图，△ABC中，2的中，BD，GF分别是EC1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若点．∥ABCGF；底面(1)求证：；AC⊥平面EBC(2)求证：.V ADEBC的体积(3)求几何体转(2)内的直线ABCAC；转化为证明分析[](1)GF平行于平面几何(3)BE内的两条相交直线BC和；EBCAC 化为证明垂直于平面.－是四棱锥体ADEBCCABED5 / 1422．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－ABC中，AC＝3，111BC ＝4，AB＝5，AA＝4，点D是AB的中点．1；⊥BC(1)求证：AC1∥CDB求证：AC；平面(2)11 C所成角的余弦值．求异面直线AC与B(3)11详解答案D ]1[答案C]2[答案故棱中不存在同时与两者平行的为异面直线，AB与CC[解析]1直线，因此只有两类：D、CAB平行与CC相交的有：CD第一类与111 AA，AB相交的有：BB、平行且与与CC111 5条．第二类与两者都相交的只有BC，故共有C 3[答案]平行的内不存在与l在平面与平面α斜交时，αl][解析1°直线A错；直线，∴D错；lα?时，在α内不存在直线与异面，∴l2°∥lαl3°α时，在内不存在直线与相交．6 / 14无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案]D∥AD，则∠BAD是异面直线AB，AD所成的[解析]由于AD1111角，很明显∠BAD＝90°.5[答案]B[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a?α，b∥∥b，C错误；对⊥α，一定有aB正确；对于选项C，a⊥α，bα，于选项D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案]D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等∥c，而在空间中，a角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案]D[解析]如图所示．由于AA⊥平面ABCD，EF?平面11111ABCD，则EF⊥AA，所以①正确；当E，F分别是线段AB，BC111111111∥∥∥AC，所以③不正确；当，则，又ACEFA的中点时，EFCAC1111E，F分别不是线段AB，BC的中点时，EF与AC异面，所以②不1111∥平面ABCD，EF?平面CBDABCD，所以正确；由于平面A11111111∥平面ABCDEF，所以④正确．D8[答案]是假命题；Ab还可能相交或异面，所以选项A中，a，[解析]，中，αB是假命题；选项Ca选项B中，，b还可能相交或异面，所以a，则α⊥βD是假命题；选项中，由于a⊥α，β还可能相交，所以C∥∥.⊥bab⊥β，则⊥l，所以blββaβ或?，则内存在直线a，又C9[答案] 解析[]如图所示：7 / 14∥∥∥∥∥.l?ABml，βl?AC⊥m；ABlABm；AC⊥3本试题考查了正方体中异面直线的所命题意图]]10[答案 5 成角的求解的运用．DF，然后则角DFD即为[解析]首先根据已知条件，连接1异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到，结合余弦定理得到结论．DD＝25＝DF＝DF，11C]11[答案，∴⊥DEBC，可证⊥AE，BCBC[解析]取中点E，连AE、DE D的平面角A－BC－∠AED为二面角C. ，故选90°，∴∠AED＝ED2＝，AD＝2＝又AEB12[答案]∥ACS，显见PB△SC，将其还原成正方体[解析]ABCD－PQRS.60°为正三角形，∴∠ACS＝AB∩αβ＝答案13[] 答案14[]45°8 / 14[解析]如图所示，正方体ABCD－ABCD中，由于BC⊥AB，1111BC ⊥AB，则∠CBC是二面角C－AB－C的平面角．又△BCC是等1111腰直角三角形，则∠CBC＝45°.19]15[答案，AC，BD解析[]如下图所示，连接. ACBD，CD确定一个平面则直线AB∥∥，αBDβ，∴AC∵128ASCS9. SD＝＝，∴＝，解得则SDSD6SB ①②④答案]16[，⊥AE，AECE，则BD中点，][解析如图所示，①取BDE 连接ACAEC平面，故?，⊥平面，∴＝∩，而⊥BDCEAECEEBDAECAC BD⊥，故①正确．9 / 142. ＝，则aAE＝CEa②设正方形的边长为2＝且∠AEC－BD－C的平面角，由①知∠AEC＝90°是直二面角A a，90°，∴AC＝ACD 是等边三角形，故②正确．∴△BCDAB与平面BCD，故∠ABE是③由题意及①知，AE⊥平面45°，所以③不正确．所成的角，而∠ABE＝N，AC的中点为M，④分别取BC，.MN，连接ME，NE11∥，＝AB＝则MNaAB，且MN2211∥，＝CD＝MEaCD，且ME22 所成的角．AB，CD∴∠EMN是异面直线2 a，，ACAE＝CE＝＝aRt在△AEC中，211，故④正60°是正三角形，∴∠EMN＝AC＝a.∴△MEN∴NE＝22 确．中，ABC(1)在正三棱柱ABC－17[证明]111的中点，AC、F分别是AC、∵F111∥∥.CFBF，AF∴BF1111 F，∩BF＝CBF∩AF＝F，F又∵11111∥.BFFC平面∴平面AB111. AAF⊥ABC，∴B⊥平面A(2)在三棱柱ABC －BC中，AA1111111111，AA＝A∩C又BF⊥A，AC11111111，平面?ABFFA ⊥平面∴BFACC，而B11111111. A⊥平面AB∴平面FACC1111 ]18[解析10 / 14AC90°，得AB＝4，BC＝3，∠ABC＝(1)如图所示，连接AC，由5.＝.AE5AD＝，E是CD的中点，所以CD⊥又.CD，CD?平面ABCD，所以PA⊥∵PA⊥平面ABCD. PAE是平面AE 内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE而PA，∥. AD相交于F，G，连接PF(2)过点B作BGAECD，分别与，与为直线PBAE.于是∠BPF知，由(1)CD⊥平面PAEBG⊥平面P.⊥AEPAE所成的角，且BG平面ABCD所成的角．为直线PB与平面由PA⊥平面ABCD知，∠PBA ，PBA＝∠BPFAB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠BFPA. ＝BFBPF∠PBA＝，sin∠＝，所以PAsin 因为PBPB∥∥，所以四边形ABC＝90°知，BC，又BGADCD由∠DAB＝∠2.AG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是＝BCDG ＝2，AF，所以BG ⊥AB在Rt△BAG中，＝4，AG25168AB22＝于是.PA＋AG＝＝BF25，＝BF＝＝BG＝AB5BG5258.51－P＝16，所以四棱锥＋的面积为S＝×(53)×4ABCD又梯形 2 ABCD的体积为58512811＝.×16×＝×＝V×SPA1533519[解析](1)证明：如图所示，取CD 的中点E，连接PE，EM，EA，11 / 14为正三角形，∵△PCD3. ＝＝2sin60°sinPE⊥CD，PE＝PD∠PDE ∴PCD⊥平面ABCD，∵平面. AMPE⊥⊥平面PEABCD，而AM?平面ABCD，∴∴是矩形，∵四边形ABCD由勾股定理可求得ABM 均为直角三角形，∴△ADE，△ECM，△＝3，，AM6＝，EMAE＝3222.⊥EM＝AE.EM∴∴＋AMAM. PM，∴⊥平面PEMAM⊥∩又PEEM ＝E，∴AM ，PM⊥AM可知(2)解：由(1)EM⊥AM，D的平面角．－∴∠PME是二面角P－AM3PE.45°，∴∠PME＝1tan∴∠PME＝＝＝EM3. 45°D－AM－的大小为P∴二面角解析20[]12 / 14，⊥BCB是菱形，所以BC(1)因为侧面BCC1111 B，B∩BC＝A又已知BC⊥AB，且1111 ABCBC?平面所以BC⊥平面ABC，又11111 . ABC所以平面ABC⊥平面111 BC与平面DE是平面ABC于点E，连接DE，则(2)设BC交1111 CD的交线．B1∥CDBBC∩平面平面ABC，平面因为ABA平面BCD，AB?11111111∥.BDEDE＝，所以A1的中点．AC是BC的中点，所以D为又E1111. ＝DC即AD11 AE，如下图所示．](1)证明：连接解21[为正方形，∵ADEB 的中点，F是AEBD∴AE∩＝F，且的中点，G是EC又∥平面ABC，?平面ABC，GFGF∴?AC，又AC∥.平面GF∴ABC AB，证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥(2)EB，平面ABC＝AB⊥平面又∵平面ABEDABC，平面ABED∩，?平面ABED. BE⊥AC∴BE⊥平面ABC，∴2 AB＝又∵AC＝BC，2222＝AB∴CACB＋，.⊥BCAC∴.⊥平面，∴＝∩又∵BCBEBACBCE13 / 1422 ，，∵，连GHBC＝AC＝＝AB(3)取AB的中点H221 ABCABED ⊥平面∴CH⊥AB，且CH＝，又平面2111. ×＝⊥平面ABCD，∴V＝×1GH∴632AC底面三边长中，在直三棱柱ABC－ABC22[解析](1)证明：111.BCAB＝5，∴AC⊥＝3，BC＝4，. B.∴AC⊥平面BCC又∵CC⊥AC111. B，∴AC⊥BC∵BC?平面BCC111B，连接DE，又四边形BCC证明：设(2)CB与CB的交点为E1111为正方形．∥. DEACD是AB的中点，E是BC的中点，∴∵11 CDB，?平面CDB，AC?平面∵DE111∥. ∴ACCDB平面11∥(3)解：∵DE，AC1 AC与BC所成的角．∴∠CED 为1151 ，AC＝ED在△CED中，＝122115 2，＝，CE＝CB2＝＝CDAB1222222＝＝∠CED.∴cos55222∴异面直线AC与BC所成角的余弦值为.11514 / 14。