第五章 角动量习题解答5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 近=439km,远地点高度d 远=2384km,地球半径R 地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。

解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对地心的角动量守恒m 月v 近（d 近+R 地）=m 月v 远（d 远+R 地）v 近/v 远=（d 远+R 地）/（d 近+R 地）=（2384+6370）/（439+6370）≈1.295.1.2 一个质量为m 的质点沿着j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+=的空间曲线运动，其中a 、b 及ω皆为常数。

求此质点所受的对原点的力矩。

解： 0)ˆsin ˆcos (ˆsin ˆcos /ˆcos ˆsin /222222=⨯-=⨯=-==-=+-=--==+-==r r m F r r m a m F r j t b i t a j t b i t a dt v d a j t b i t a dt r d v ωτωωωωωωωωωωωωω5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场j t i t t F ˆ)612(ˆ)43(2-+-= 中运动，其中t 是时间。

该质点在t=0时位于原点，且速度为零。

求t=2时该质点所受的对原点的力矩。

解：据质点动量定理的微分形式，)1()(===m v d v m d dt Fdt j t i t t v d ]ˆ)612(ˆ)43[(2-+-=∴kk k k ij k j i j j i i j i j i F r j i j i F ji j i r j t t i t t r dt t t j dt t t i r d dtj t t i t t dt v r d j t t i t t v dt t j dt t t i v d r t t t t v ˆ40)ˆ(44ˆ18)2(ˆˆˆ,ˆˆˆ,0ˆˆˆˆ)ˆ18ˆ4()ˆ4ˆ()2()2()2(ˆ18ˆ4ˆ)6212(ˆ)2423()2(ˆ4ˆˆ)2322(ˆ)22()2(ˆ)32(ˆ)()(ˆ6)2(ˆ]ˆ)(6ˆ)2[(ˆ)(6ˆ)2()612(ˆ)43(ˆ343423423332441233324410002232232230020-=-⨯+⨯-=∴-=⨯=⨯=⨯=⨯+⨯+-=⨯=+=-⨯+⨯-⨯=+-=⨯-⨯+⨯-⨯=-+-=-+-=-+-==-+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ττ5.1.4地球质量为6.0×1024kg ，地球与太阳相距149×106km ，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。

解：606024365)10149(2100.629242⨯⨯⨯⨯⨯⨯===πωr m mvr L s kgm /1065.21060602436514920.6240422⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=π5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。

解：v r m p r L⨯=⨯= kmab k t ab k t ab m j t b i t a j t b i t a m ˆ)ˆsin ˆcos ()ˆcos ˆsin ()ˆsin ˆcos (22ωωωωωωωωωωω=+=+-⨯+=5.1.6根据5.1.3题所给的条件，求质点在t=2时对原点的角动量。

解：)2()2()2()2()2(v r m p r L⨯=⨯= kj j i ˆ16ˆ12)ˆ4ˆ(134-=⨯+-⨯=5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g 小球，沿半径 为40cm 的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N 。

如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm 的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？解：设小球的质量为m=10×10-3kg,原来的运动半径为R 1=40cm,运动速率为v 1;后来的运动半径为R 2=10cm,运动速率为v 2.i ˆj ˆk ˆ先求小球原来的速率v 1：据牛顿第二定律，F=mv 12/R 1，所以，s m m F R v /2.010/104.0/2311=⨯==--由于各力对过小孔的竖直轴的力矩为零，所以小球对该轴的角动量守恒，m v 1R 1=m v 2R 2，v 2=v 1R 1/R 2=0.2×0.4/0.1=0.8m/s在由R 1→R 2的过程中，只有拉力F 做功，据动能定理，有J v v v v m v v m mv mv A F 322112122121222121212221103)2.08.0)(2.08.0(10))(()(--⨯=-+⨯=-+=-=-=5.1.8 一个质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，其位置矢量为j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，其中a 、b 和ω是正常数，试以运动学和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。

证明：rj t b i t a dt v d a j t b i t a dt r d v 222ˆsin ˆcos /ˆcos ˆsin /ωωωωωωωωω-=--==+-== ⑴运动学观点：k mab k t mab kt mab L k i j j i j j i i j t b i t a m j t b i t a v m r L ˆˆsin ˆcos ˆ)ˆ(ˆˆˆ,0ˆˆˆˆ)ˆcos ˆsin ()ˆsin ˆcos (22ωωωωωωωωωωω=+=∴=-⨯=⨯=⨯=⨯+-⨯+=⨯= 显然与时间t 无关，是个守恒量。

⑵动力学观点： ∵0)(22=⨯-=-⨯=⨯=⨯=r r m r m r a m r F rωωτ,∴该质点角动量守恒。

5.1.9 质量为200g 的小球 B 以弹性绳在光滑水平面上与固定点A 相连。

弹性绳的劲度系数为8 N/m ，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度v 0如图所示。

当小球的速率变为v 时，它与A 点的距离最大，且等于800mm ，求此时的速率v 及初速率v 0.解：设小球B 的质量m=0.2kg,原来与固定点A 的距离r 0=0.4m,当速率为v 时，与A 点距离r =0.8m,弹性绳自由伸展的长度为d =0.6m.小球B 的速率由v 0→v 的过程中，作用在小球B 上的力对过A 点轴的力矩之和始终为零，因而小球对A 点的角动量守恒，有r 0mv 0sin30º= rmv (最大距离时，)v r ⊥ （1）另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，)2()(2212212021mv d r k mv +-=为求解方便，将⑴⑵化简，并代入已知数据可得：)'2(6.1)'1(42200v v v v +==解此方程组，求得：v 0 ≈1.3 m/s v ≈0.33 m/s5.1.10 一条不可伸长的细绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端系一质量为0.5g 的小球，小球沿水平圆周运动。

最初l 1=2m,θ1=30º，后来继续向下拉绳使小球以θ2=60º沿水平圆周运动。

求小球最初的速度v 1，最后的速度v 2以及绳对小球做的总功。

解：隔离小球，受力情况如图示，应用牛顿第二定律，有：)3(sin cos /)2/()1()2(cos )1(sin /sin sin cos sin 22θθθθθθθθgl v mg F l mv F gl v =∴===得 当θ=θ1时s m gl v /38.23/48.9sin cos /211111=⨯==θθ 当θ=θ2时,)4(322223cos sin 22222222g v gl l gl v =∴==θθ 由于作用质点上的力对管轴的力矩始终等于零,∴角动量守恒： 1sin sin 22221112211sin sin v v l mv l mv l l θθθθ=∴=，将（4）式和三角函数值代入，可求得： s m v v gl /43.338.228.93233323211=⨯⨯⨯==将v 2代入（4）中，可求得l 2=0.8m ，根据质点动能定理： Jl l mg v v m E E A p k F 0806.0)8.02(105.0)38.243.3(105.0)cos cos ()(21233223212211212221=⨯-⨯⨯+-⨯⨯⨯=-+-=∆+∆=--θθ5.2.2 理想滑轮悬挂两质量为m 的砝码盘。

用轻线拴住轻弹簧两端使它处于压缩状态，将此弹簧竖直放在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m 的砝码。

另一砝码盘上也放置质量为m 的砝码，使两盘静止。

燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离。

求砝码升起的高度，已知弹簧劲度系数为k ，被压缩的长度为l 0.解：设滑轮半径为R ，弹簧释放后，弹簧上边的砝码获得的速度为v ，方向向上，左边砝码盘获得的速度为v '，方向向下，显然右边砝码盘及砝码获得的速度大小也是v ',但方向向上（如图示）。

把左盘、左盘上的砝码和右盘及盘中砝码视为一个质点系，作为研究对象。

在弹簧释放过程中，作用于质点系的外力对滑轮轴的力矩之和始终为零，故质点系对滑轮轴的角动量守恒，规定垂直纸面向外的角动量为正，则有：-mvR+mv ’R+2mv ’R = 0，即 v = 3 v ' (1)另外，在此过程中，只有弹簧的弹力和重力做功，因而质点系能量守恒，忽略重力势能的微小变化，则有：2212212021')3(v m mv kl +=，即 )2('32022kl mv mv =+左盘中的砝码脱离弹簧获得速度v 后做竖直上抛运动,达到最大高度h 时速度为零,据能量守恒,)3(2/2221g v h mgh mv =∴=由⑴⑵可求得v 2=3kl 02/4m ，代入⑶中得：h = 3 k l 02/8mg5.2.3 两个滑冰运动员的质量各为70kg ，以6.5m/s 的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m ，当彼此交错时，各抓住10m 绳索的一端，然后相对旋转。

⑴在抓住绳索一端之前，各自对绳索中心的角动量是多少？抓住之后是多少？⑵它们各自收拢绳索，到绳长为5m 时，各自的速率如何？⑶绳长为5m 时，绳内张力多大？⑷二人在收拢绳索时，各自做了多少功〉⑸总动能如何变化？解：设每个运动员的质量为m=70kg ，收绳前相对绳中心o 的距离为d = d 1= 5m ，速率为v=v 1=6.5m/s ；当把绳收拢为d = d 2= 2.5m 时, 速率v=v 2.⑴对绳中心o 点的角动量各为L=mv 1d 1=70×6.5×5=2275kgm 2/s （抓住绳索前后角动量相同）⑵把两个运动员视为一个质点系,在收绳过程中，质点系对o 轴的角动量守恒有2m v 1d 1 = 2m v 2 d 2∴v 2 = v 1d 1/d 2 = 6.5×5/2.5 =13 m/s⑶把某一运动员视为质点，作为研究对象，由牛顿第二定律，绳中张力F = m v 22/d 2 = 70×132 /2.5 = 4732 N⑷由质点动能定理，每人所做的功均为：J v v v v m mv mv A 4436)5.613)(5.613(70))((2112122121212221=+-⨯=+-=-=⑸总动能增大了ΔE k = 2×4436 = 8872 J。