综合测验一
说明:
(1)本测验分(A )卷和(B )卷。
(2)每队只能从(A )、(B )卷中任选一套试卷做。
若选择(A )卷，只要从(A )卷题目中任选一
题，按照所选题目的要求完成即可；若选择(B )卷，只要从(B )卷题目中任选两题，按照所选题目的要求完成即可。
(2)任何两队之间不允许讨论，不允许互相抄袭，一旦发现，均以作弊处理。
(3)每队都要用数学作业纸答卷；字迹要工整；每一个问题的解答都要有完整的过程，过程不完整者均要扣分；只有结果，没有过程者均以0分处理。
(4)按时交卷，交卷时每个人的名字都写在第一页的上方；过时不交均以自动放弃处理；交卷时试题与答案一同交上来。
(5)用a Mathematic 编的程序附在卷子的后面。
（A ）卷
一、梯子的长度问题
1.问题
一幢楼房的后面是一个很大的花园。
在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室
宽a 米，高b 米。
温室正上方是楼房的窗台，清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。
因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。
现清洁工只有一架L 米长的梯子，你认为它能达到要求吗？
2.要求
(1) (1)当梯子与温室顶端处恰好接触斜靠楼房时,梯子的长度L 只与梯子倾斜的
角度x 有关.试写出函数)(x L 及定义域.
(2)设32==b a ,,画出函数)(x L 的图形.
(3)在(2)中,求函数)(x L 的驻点(用a Mathematic 命令求),并计算函数在驻
点的
值,驻点唯一吗?
(4)观察图形,选取初始点,直接用a Mathematic 命令求函数的极小值,并与
(3)
中的结果比较.
(5)取81.=a ,在只用56.米长梯子的情况下,温室最多能修建多高?
(6)一条1米宽的通道与另一条2米宽的通道相交成直角,一个梯子需要水平饶过拐角,试问梯子的最大长度是多少?
二、n 级混联电路问题
1.问题
对于串联电路(如图1)和纯粹并联电路(如图2),求总电阻,物理上是容易计
算的.对于图3这种混联电路,或甚至“无穷多”个支路的这类电路,如何求其总电阻呢？
A
图1
B A
图2
B 图3 B
2.要求
(1) (1)试设计程序计算下列5种电路(如图4)中B A ,间的总电阻
),,,()( 321=n R n AB ,
其中R r ,的电阻值是已知的.对于小的n 值,要求给出简单公式;对于R 及r 的特殊
值,比如1==r R 等,试给出至少10≤n 时的准确值,且观察其中规律性的东西.
B B
图4
(2)对于R 及r 的其他值运行程序,有一些什么样的结论?
三、陈酒出售的最佳时机问题
1．问题
某酒厂新酿制了一批好酒。
如果现在就出售，可得总收入500=R 万元，
如果把酒储藏起来待到来日(第n 年)按陈酒价格出售，第n 年末可得总收入为：
n e
R R 6
1
0=万元。
而银行利率为050.=r ，试分析这批好酒储藏多少年后可使总
收入现值最大？ 2．要求
第一种方案：如果现在出售这批好酒，可得本金50万元。
由于银行利率为050.=r ，按照复利计算公式，第n 年本利和为：n
n B ).()(050150+=。
第二种方案：如果储藏起来，等到第n 年出售，原来的50万元到第n 年增
值为：n e n R 6
150=)(。
（1） （1） 利用这两个不同的公式分别计算出第一年末，第二年末，…..，
第十六年
末采用两种方案，50万元增值的数目。
比较（1）中用两种不同方案计算的数据，考虑如下问题：
1）1）如果酒厂希望在2年后投资扩建酒厂，应选择哪一种方案使这批好
酒所具
有的价值发挥最大作用？
2）2）如果酒厂希望在6年后将资金用作其他投资，应该选择哪一种方案？
（2） （2） 假设现在酒厂有一笔现金，数额为X 万元，将其存入银行，
等到第n
年时增值为)(n R 万元。
根据复利公式，n
X n R ).()(0501+=，则称X 为)(n R 的现
值。
故)(n X 的现值计算公式为
n n R n X ).()()(0501+=
将n e n R 6
150=)(代入上式，可得酒厂将这批好酒储藏起来作为陈酒在第n 年后出售所得总收入的现值为
n n e
n X ).()(0501506
1+=
利用这一公式，计算出16年内陈酒出售后总收入)(n X 的现值数据
根据上面计算的数据，考虑下面的问题：
如果酒厂打算将这批好酒出售所得收入用于8年后的另外投资，应选择那一年作为出售陈酒的最佳时间？
（B ）卷
一、 一、 鱼群的适度捕捞问题
鱼群是一种可再生的资源。
若目前鱼群的总数为x 公斤，经过一年的成长
与繁
殖，第二年鱼群的总数变为y 公斤。
反映x 与y 之间相互关系的曲线称为再生产曲线，记为)(x f y =。
现假设鱼群的再生产曲线为
⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-=N x rx y 1，)(1>r 。
为保证鱼群的数量维持稳定，在捕捞时必须注意适度捕捞。
问
1.假设r 为自然增长率，试对再生产曲线的实际意义作简单解释。
2.鱼群的数量控制在多大时，才能使我们获得最大的持续捕获量？
3.设某鱼塘最多可养鱼10万公斤，若鱼量超过10万公斤，由于缺氧等原因会造成鱼群大范围死亡。
根据经验知鱼群年自然增长率为4，试计算每年的合理捕捞量。
二、 二、 路程最短问题
(a )比亚一天的活动如下：上午在华盛顿大学上课，下午在东圣路易斯工
作,
晚上去她最喜欢的酒巴喝酒。
在家吃早饭和晚饭，她应当在这条路上何处找一所公寓，使每天往返距离最短(如图1)?
(b )她的同事玛丽∙乔西(在家吃)前要去拱门路附近的体操馆,一天中其余
活动则与比亚一样.她应当在这条路上何处找一所公寓?
华盛顿大学 (t A
5 拱门路 km 2
t
东圣∙路易斯 3am 9am 3pm 9pm 3am 9am 3pm 9pm 图1 图2
三、水温变化问题
考虑一个大水箱。
水的温度为)(t W ，周围的温度)(t A (即四周空气的温度)
的图象如图2所示.水的温度受四周空气温度的影响.
1. 1. 如果水比周围空气冷,水的温度如何改变?如果水比周围空气热,水温如何改
变?
2. 2. 用1.题的答案,在同一坐标系下画出如)(t A 那样的)(t W 的可能图象。
3. 3. 解释)(t W 的极大值、极小值与两图象交点之间的关系。
4. 4. 水温改变的速率与)()(t W t A -之间有怎样的关系？
5. 5. )(t W 的拐点与)()(t W t A -与)()(t W t A -取极大值或极小值的点之间有怎样
的关系？
6. 6. 设在凌晨3点水箱里又重新注满C 0
2的冷水，画出)(t W 的可能图象。
要
注意其凹凸性。
四、家庭教育基金问题
从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度。
为了保障子女将来的教
育
经费，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x 元作为家庭教育基金。
若银行的年利率为r ，
(1)试写出第n 年后教育基金总额的表达式。
(2) (2)假设当子女18岁进入大学时所需费用为30000元，按年利率10%计算,
小张每年应向银行存入多少元?
(3)假设小张向银行贷款0A 元用于买房，贷款年利率为r ，从第二年起，小
张每年向银行还x 元，按照(1)(2)的解法，给出n 年后小张还欠银行贷款额数n A 。