例[2.7] 设随机过程式中，a、ω0皆为常数，Φ是在（0,2π）上均匀分布的随机变量。

试问：(1) X(t)是否是平稳随机过程？为什么？(2) X(t)是否具有遍历性？解：(1) 随机变量Φ的概率密度为因而，过程X(t)的均值、自相关函数和均方值分别为所以，X(t)是宽平稳随机过程。

(2)因为对照（1）和（2）的结果可知，X(t)具有宽遍历性。

【例2.8】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间T 内其符号改变的次数k服从泊松分布。

式中，μ是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。

试求其相关函数R(τ)和功率谱密度P(f)。

解：将此二进制数字信号看成是一个平稳随机信号，则自相关函数为：由图可以看出，乘积x(t)x(t-τ) 只有两种可能取值：a2 或-a2。

因此，上式可以化简为：R(τ) = a2 ⨯ [a2出现的概率] + (-a2) ⨯ [(-a2)出现的概率]式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布P(k)计算，若在τ秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现+a2; 若在τ秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现-a2。

因此，用τ代替泊松分布式中的T，得到由于在泊松分布中τ是时间间隔，所以它应该是非负数。

所以，上式中当τ取负值时，上式应当改写成其功率谱密度P(f )可以由其自相关函数R(τ)的傅里叶变换求出：P(f )和R(τ)的曲线：+-ax)]()([)(ττ-=txtxER])5()3()1([])4()2()0([)]()([)(22+++-+++=-=PPPaPPPatxtxERττμττ22)(eaR=例：设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn (f )=0.5×10-3W/Hz ，在该信道中传输AM 信号，并设调制信号m (t )的频带限制于5kHz ，载频是100kHz ，边带功率为10kW ，载波功率为40kW 。

若接收机的输入信号先经过一个合适的理想带通滤波器，然后再加至包络检波器进行解调。

试求：(1)解调器输入端的信噪功率比； (2)解调器输出端的信噪功率比； (3)制度增益G 。

例：已知一调制信号 ，它所产生的 调角波具有形式 。

现要求调制指数 ，试求：（1）若为FM 波，最大频偏 、带宽B 、调频灵敏度 、 FM 波表达式；（2）若为PM 波，最大相移 、带宽B 、调相灵敏度 、 PM 波表达式。

Vt t m )102cos(5)(3⨯=π[])(cos )(t t A t s c m ϕω+=rad m 10=ω∆F K m ax ϕP K例题：采用13折线A律编码（段内为自然码），归一化值1划分为2048个最小量化单位∆，若抽样值分别为+37∆和-168∆时，试求：（1）编码器输出码组；（2）对应于7位码的均匀量化11位码。

思考题：采用13折线A律编码器电路，设接收端收到的码组为“01010011”，并已知段内码为折叠二进制码。

试问编码器输出多少最小量化单位（∆）。

差分脉冲编码调制(DPCM)的原理例：语音信号：x1 [0 255] N=8x2 [0 8] N=3f s=8kHzx1的传输速率：64kb/s 32kHzx2的传输速率：24kb/s 12kHz例：现要求分别用PCM 系统和∆M 系统传输频率为fm =4kHz 的正弦信号，并使两个系统的输出量化信噪比都满足30dB 的要求，试比较两个系统的抽样速率及信息速率。

解: (1) 当采用PCM 系统时• 抽样频率 fs =2fm =8kHz • 量化电平数:由于• 因此取M =32• 编码位数 N =log2M =5 •信息速率Rb =fs *N =40kb/s • 最小带宽B =Rb /2=20kHz(2) 当采用∆M 系统时 • 抽样频率这里，f 0=fL =fm,,则fs ≥117kHz ，取fs=120kHz• 信息速率Rb =fs =120kb/s • 最小带宽B =Rb /2=60kHz例题：采用13折线A 律编码（段内为自然码），归一化值1划分为2048个最小量化单位∆，若抽样值分别为+37∆和-168∆时，求编码器输出码组，并用双极性归零矩形脉冲波形表示出来。

已知升余弦滤波器的带宽B=3000Hz ，滚降因子α=0.5，试求该基带系统的可传输的码元传输速率。

【例1】设有一个2ASK 信号传输系统，其中码元速率RB = 4.8 ⨯ 106 Baud ，接收信号的振幅A = 1mV ，高斯噪声的单边功率谱密度n 0 =2 ⨯ 10-15 W / Hz 。

试求：1）用包络检波法时的最佳误码率；2）用相干解调法时的最佳误码率。

解：基带矩形脉冲的带宽为1/T Hz 。

2ASK 信号的带宽应该是它的两倍，即2/T Hz 。

故接收端带通滤波器的最佳带宽应为: B ≈ 2/T = 2RB =9.6 ⨯ 106 Hz 故带通滤波器输出噪声平均功率等于:因此其输出信噪比等于：∴（1）包络检波法时的误码率为：（2）相干解调法时的误码率为：【例2】设发送的二进制信息为101011001，采用2ASK 方式传输。

已知码元传输速率为1200B ，载波频率为2400Hz ：（1）试画出2ASK 信号的时间波形；（2）试画出2ASK 信号频谱结构示意图，并计算其带宽。

WB n n8021092.1-⨯==σ1261092.121028622>>≈⨯⨯==--n A r σ45.64105.72121---⨯===e eP r e 45.641066.1261416.311---⨯=⨯==e erP r e π【例3】设有一2FSK 传输系统，其传输带宽等于2400 Hz 。

2FSK 信号的频率分别等于f 0 = 980Hz ，f 1 = 1580Hz 。

码元速率RB = 300 Baud 。

接收端输入的信噪比等于6dB 。

试求： 1. 此2FSK 信号的带宽； 2. 用包络检波法时的误码率； 3. 用相干检测法时的误码率。

【解】 1. 信号带宽：2. 先计算信噪比r ： 带通滤波器的带宽应等于：B = 2RB = 600 Hz 带通滤波器输入端和输出端的带宽比： 2400/600 = 4 带通滤波器输出端的信噪功率比： r = 4 × 4 ＝16所以，包络检波法的误码率：3. 相干检测法的误码率用查表法得出：用近似式得出：Hz120030029801580201=⨯+-=+-=∆c f f f f 482/107.12121---⨯===e e P r e ()[]()[][]5105.399993.01218284.212181212121221-⨯=-=-=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=erf erf r erf r erfc P e 582/1039.332121---⨯===e e r P r e ππ两者基本一样。

【例】在2FSK系统中，发送“1”符号的频率f1=1.15MHz，发送“0”符号的频率f2=0.85MHz，且发送概率相等，码元传输速率RB=0.2MB。

解调器输入端信号振幅a=4mV，信道加性高斯白噪声的双边功率谱密度n0/2=10-12W/Hz。

：（1）试求2FSK信号的频带宽度；（2）若采用相干解调，试求系统的误码率；（3）若采用非相干解调，试求系统的误码率。

【例4】设发送的二进制信息为101011001，采用2FSK方式传输。

已知码元传输速率为1200Baud，发送码元1时载波频率为2400Hz，发送码元0时载波频率为1800Hz：（1）试画出2FSK信号的时间波形(采用开关法)；（2）试画出2FSK信号频谱结构示意图，并计算其带宽。

【例5】设发送的二进制信息为111010011，采用2PSK方式传输。

已知码元传输速率为2400Baud，载波频率为3600Hz：（1）试画出2PSK信号的时间波形；（2）若采用相干解调方式进行解调，试画出各点时间波形；（3）若发送信息“0”和“1”的概率相等，试画出2PSK信号频谱结构示意图，并计算其带宽【例6】假设要求以1Mb/s的速率用2DPSK信号传输数据，误码率不超过10-4，且在接收设备输入端的白色高斯噪声的单边功率谱密度n0等于1⨯10-12 W/Hz。

试求：（1）采用相位比较法时所需接收信号功率；（2）采用极性比较法时所需接收信号功率。

解：现在码元速率为1MB。

2DPSK信号的带宽和2ASK信号的带宽一样，所以接收带通滤波器的带宽等于B≈ 2/T = 2 ⨯ 106 Hz带通滤波器输出噪声功率等于采用相位比较法时：按照要求从而得到要求信噪比:即要求信号功率:▪ 采用极性比较法时：按照同样要求即由误差函数表查出要求：故要求信号功率例7】在二进制数字调制系统中，已知码元传输速率RB=1MB ，接收机输入高斯白噪声的单边功率谱密度n 0=4*10-16W/Hz ，若要求解调器输出误码率Pe<=10-4,试求下列情况下系统的输入信号功率：（1）相干解调和非相干解调2ASK ；661202102102101--⨯=⨯⨯⨯==B n nσ41021--≤=r e e P 52.85000ln 222=≥=nA r σdBm7.17107.110252.852.825622-=⨯=⨯⨯=⨯≥=--W A P n s σ4101'-≤-=r erf P e 9999.01014=-≥-r erf 75.2≥r 56.7≥r dBm2.18101.1510256.756.726622-=⨯=⨯⨯=≥=--W A P n s σ（2）相干解调和非相干解调2FSK；（3）相干解调和非相干解调2DPSK；（4）相干解调2PSK。

【例8】设发送数字信息序列为10011010，码元速率为2000Bd，试1.分别画出当载波频率为2kHz时的2ASK、2PSK、2DPSK信号波形。

（2ASK规则为：“1”――有载波，“0”――无载波。

2PSK相位规则为“1”――0，“0”――。

差分编码规则为“1变0不变”，且设相对参考码元为“0”）2.若载波频率改为3kHz，重作（1）题。

3.计算（1）、（2）两题中2ASK、2PSK、2DPSK信号的带宽和频带利用率。