N v2 4 e N 2 kT v vp
1 v2p N 4 2 e v N p
32
32
2 kT
v v
2
2kT

v2 p 2 p
, v 0.02v p
0.08
v 0.02v p

e 1.67%
气体的内能是2.45×10 6J，氦分子平均动能是6×1021J，求氢气质量M。（玻耳兹曼常量k=1.38×10-23
J· K-1，摩尔气体常量R=8.31J· mol-1· k-1）
1 3 2 v k T 6 1 0 21 J 2 2
mH 5 m He 3 2 E RT RT 2 . 45 10 6 M He 2 MH 2
o
v1 v2
v
1） 表示在温度为T 的平衡状态下 ，速率在v 附近单位速率区间 的分 子数占总数的百分比 . 2）表示气体分子的速率处于v附 近单位速率区间的概率。
1）速率位于v→v+dv内分子数
dN f (v) N dv
d N N f (v )d v
N
v2 v1
速率位于v1→v2区间的分子数
v 0 2v
（3）求全部粒子的平均速率
a v v0
v v0 v0 v 2v0 v 2v0
0 a a d v 1 vdv v 2 a v 0 v v0 0 0
1 1 S a2v0 1 a v0 2
v0
（ 2）
v 0 v0
2 1 2 n v nk 2 3 3 kT 单原子分子：i =3 双原子分子：i =5 2
0
平均碰撞频率 平均自由程
Z 2nd v v z
2
f v 4 e 2 kT
2 kT
v
n n 0e

Ep
kT
f ( v)
物理意义
S
vp



0
1 2 v f v dv 2
(1)速率大于vp的分子数占总分子数的比例 (2)分子的平均平动动能
【填空题2】
p nkT
m NA n M V
n 1 n p nkT 1 nkT 1.92 105 Pa
【填空题3】求气体分子速率与最可然速率之差不 超过1%的分子数占全部分子的百分率为 ？
2
【计算题4】容器内储有质量为m，摩尔质量为M的理想 气体，容器以速度V作定向运动，今使容器突然停止， 问在（1）单原子分子和（2）双原子刚性分子这两种情 况下系统温度的改变和分子速度平方平均值的增量？
MV =T iR
2
1 m i 2 mV E = RT 2 M 2 3 1 2 3 2 v kT k = v kT 2 2
第六章 气体动理论
m 理想气体状态 PV RT 方程： M 理想气体的压强
分压定律： P P 1 P 2
统 计 规 律
理想气体的温度：
2 P 3
k
i 能量按自由度均分 kT 多原子分子：i =6 2 原理: i m i 理想气体的内能： E N ( kT ) RT 2 M 2 分子速率分布函数 d N f ( v )dv 3 N v 2 2 f v d v 1 2
N f ( v )dv
2）速率位于v1→v2区间的分子数占总数的百分比
3）求与速率有关的物理量
N ( v1 v 2 ) v 2 S v f ( v )d v 1 N
1）速率区间0~vp的分子数占总分子数的百分比
N VP dN f (v)dv f (v)dv N N 0
0 0
Nf 2 v d v NA Nf 2 v d v 0 V0 v0

v0
V0

f (v )
N f v dv N A
2 0
Ⅱ
A
N N A N 1 A

T2 v0 T1
Ⅰ
vp
v
T v p2
2）分子的平均速率
d N N f v d v

v d N v N f v d v
v f v dv
0
v
2
v dN v N f v dv
0
N
2

0
N
v
v f v dv
0
【例1】一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动
动能相同，而且它们都处于平衡状态。则它们温度相 同？压强相同？分子数密度相同？总分子数相同？
E 4 E0
（4）气体单位体积内的内能变为原来的几倍?
E E0
V 2 V0
【计算题7】N个同种分子，在温度T1（Ⅰ曲线）和T2
（II曲线） （T1＞T2）时，麦克斯韦速率分布情况如图
所示。若图中阴影面积为A，则在T1、T2时气体中分子
的运动速率小于V0的分子数之差为多少？对应于曲线Ⅱ f (v) 的最概然速率VP为多少?
【计算题2】P241 6-12 假设有N个电子组成的电子气，
其速率分布函数f(v)与v的关系如图所示。求：（1）a的
大小（用N，v0表示）；（2）0—v0间粒子的平均速率；
f ( v) 解：（1） a a f v v 2a v0 v0 v 2v0 0 根据归一化条件：
Ⅱ
A f1 v d v f 2 v d v
0 v0
v0

A
0
V0 0
Ⅰ
v
v0
N 2 N 1 V V0 N f 2 v d v N f1 v d v
0
v0
N 2 N 1 V V N f 2 v d v N f 1 v d v 0

vdN
0 v0 0
v0

v Nf v d v
0 v0 0
dN
2 v0 3 Nf v d v
（ 3）
v v f v d v v f ( v ) d v v f v d v v 0
2 v0 v0 0 0 v0
【计算题3】将1kg氦气和Mkg氢气混合，平衡后混合
0
0

vd N vN f v d v
0
vp

4）分子速率大于vp的分子数
N f v d v
【选择题3 】
C
NAfA(v)+NBfB(v) NA+NB
【选择题4 】
b
8RT v M z 2 d nv
2
1 2 d 2 n
【填空题1】
f v dv
0
v0
2 V i 3 2 2 2 3 3k MV 3V kMN A 3V 2 v k T 3 2 iR i RN A i V i5 5
【计算题6】一定质量的某种理想气体，先经过等容过程 使其热力学温度增高为原来的4倍，再经过等温过程使其 体积膨胀为原来的2倍，则经此过程后： （1）分子的平均碰撞的频率变为原来的几倍？
【计算题1】氢分子的质量为3.3×10-24 g,如果每秒有 约1023 个氢分子沿着与容器器壁的法线成45°角的方 向以105 cm/s的速率撞击在2.0cm2 面积上（碰撞是完 全弹性的），则此氢气的压强为多少？ 解：一个分子撞击给予器壁的冲量
Ii 2μ v x 2μ v cos 45

每秒钟内分子给予器壁的总冲量
45
I N 2 μ v c o s 4 5 ( F Δ t)
F
3
F N 2 μ v cos 4 5 P S S
2 2 3.3 10 10 10 23 3 2 2.33 10 Pa 4 2.0 10
27
【填空题5】


vp
Nf v dv
vf v dv


v0
f v dv
v0

f v dv
v0

【填空题6】一容器内装有气体，n，T，平衡态下 分子与器壁发生完全弹性碰撞。若碰撞时有20%的 分子被吸收，则此时的压强变为 ？
p nkT =0.8nkT 0.2nkT p nkT =0.8nkT 0.1nkT =0.9nkT
答：（1）T1=T2
（ 2） P 1
k
3 kT 2
P2
1
（ 3） n
n
2
2 P nk 3 m PM m ( PV RT ) V RT M
（4）不一定相同
P1M
1
P2M
2
m N nV n
【选择题1 】
2H2O 2H2 O2
6 5 E0 2 RT E 3 RT 2 2 15 3 E RT 6 RT RT 2 2 3 RT E 1 2 E0 6 RT 4
【选择题2】已知总分子数N，f(v)为速率分布函数，
则下列表示式是否正确？
N 1）速率在v1—v2之间的分子数 f v dv v1 N
v2
多次观察某一分子，发现其速率处在v1—v2之间的概率
2）最概然速率vp是分子速率的最大值。
3）在整个速率范围内分子速率的总和 v f v d v v
1
【填空题4】一容器内盛有密度为ρ的单原子理想气 体，其压强为p，此气体分子的方均根速率为 单位体积内气体的内能是 ？ ？
m RT RT p M V MBiblioteka 3RT 3p v M