第6章 真空中的静电场 习题及答案1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。

一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以200200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε故 223+=x2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。

试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以2220)33(π4130cos π412a q q a q '=︒εε故 q q 33-=' (2)与三角形边长无关。

3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。

求该直线段受到的电场力。

解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。

在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为)(4220R x dqdE +=πε根据电荷分布的对称性知，0==z y E E23220)(41cos R x xdqdE dE x +==πεθR Oλ1λ2lxy z式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。

⎰+=23220)(4dq R x xE x πε232210)(24R x Rx+⋅=πλπε232201)(2R x xR +=ελ下面求直线段受到的电场力。

在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为dq E dF x =dx R x xR 2322021)(2+=ελλ 方向沿x 轴正方向。

直线段受到的电场力大小为⎰=dF F dx R x xR l ⎰+=02322021)(ελλ2 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=2/12202111R l R R ελλ2 方向沿x 轴正方向。

4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。

求：（1）圆心处O 点的场强；（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。

解：（1）在半圆环上取ϕλλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为20π4R dq dE ε=ϕελd R0π4= ，方向沿半径向外根据电荷分布的对称性知，0=y Eϕϕελϕd RdE dE x sin π4sin 0==Rd R E x 000π2sin π4ελϕϕελπ==⎰故 RE E x 0π2ελ==，方向沿x 轴正向。

（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。

5．如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。

解：建立图示坐标系。

在均匀带电细直杆上取dx Lqdx dq ==λ，dq 在P 点产生的场强大小为202044xdxx dq dE πελπε==，方向沿x 轴负方向。

故 P 点场强大小为 ⎰⎰+==L d dP x dxdE E 204πελ()L d d q+π=04ε方向沿x 轴负方向。

6. 一半径为R 的均匀带电半球面，其电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解：建立图示坐标系。

将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。

在半球面上取宽度为dl 的细圆环，其带电量rdl dS dq πσσ2⋅=⋅=θθπσd R sin 22⋅=，dq 在O 点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）23220)(4r x xdq dE +=πε ，方向沿x 轴负方向利用几何关系，θcos R x =，θsin R r =统一积分变量，得23220)(4r x xdqdE +=πεθθπσθπεd R R R sin 2cos 41230⋅=θθθεσd cos sin 20=因为所有的细圆环在在O 点产生的场强方向均沿为x 轴负方向，所以球心处电场强度的大小为⎰=dE E θθθεσπd cos sin 22/0⎰=4εσ=Ldq P xOORx dlr方向沿x 轴负方向。

7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为σ，如图所示。

试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强。

解：应用补偿法和场强叠加原理求解。

若把半径为R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为σσ-='的半径为R 的带电圆盘，由场强叠加原理知，P 点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。

“无限大”带电平面在P 点产生的场强大小为12εσ=E ，方向沿x 轴正方向 半径为R 、电荷面密度σσ-='的圆盘在P 点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）022εσ=E )1(22xR x+-，方向沿x 轴负方向故P 点的场强大小为220212xR xE E E +=-=εσ方向沿x 轴正方向。

8. (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?解：（1）由高斯定理0d εqS E s⎰=⋅求解。

立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以通过各面电通量为6εqe =Φ （2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则通过边长a 2的正方形各面的电通量06εq e =Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则024εqe =Φ，如果它包含q 所在顶点，则0=Φe 。

9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为σOR xP•x1σ和2σ，试求空间各处场强。

解：如图所示，电荷面密度为1σ的平面产生的场强大小为12εσ=E ，方向垂直于该平面指向外侧 电荷面密度为2σ的平面产生的场强大小为22εσ=E ，方向垂直于该平面指向外侧 由场强叠加原理得两面之间，)(2121021σσε-=-=E E E ，方向垂直于平面向右 1σ面左侧，)(2121021σσε+=+=E E E ，方向垂直于平面向左 2σ面右侧，)(2121021σσε+=+=E E E ，方向垂直于平面向右 10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为1R 和2R ，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为ρ（0>ρ）。

试求各区域的电场强度分布。

解：电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面。

由高斯定理∑⎰=⋅iSqS d E 01ε 得i q r E ∑=⋅0214επ当1R r <时，0=∑i q ，所以 0=E 当21R r R <<时，)3434(313R r q i ππρ-=∑，所以203133)(rR r E ερ-= 当2R r >时，)3434(3132R R q i ππρ-=∑，所以2031323)(r R R E ερ-=11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为1R 和2R （12R R >），若大球面的面电荷密度为σ，且大球面外的电场强度为零。

求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。

解:（1）电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面。

由高斯定理∑⎰=⋅iSqS d E 01ε 得i q r E ∑=⋅0214επ当2R r >时，0=E ，0442122=⋅'+⋅=∑R R q i πσπσ，所以σσ212)R R （-=' （2）当1R r <时，0=∑i q ，所以 0=E当21R r R <<时，222144R R q i πσπσ-=⋅'=∑，所以22)εσr R E （-= 负号表示场强方向沿径向指向球心。

12. 一厚度为d 的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为ρ，求板内外的场强。

解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为x ，底面圆的面积为S ∆。

由高斯定理∑⎰=⋅iSqS d E 01ε 得=⋅⎰SS d E i q S E S E ∑=+∆⋅+∆⋅010ε 当2dx <时（平板内部），S x q i ∆⋅⋅=∑2ρ，所以 0ερx E =当2dx >（平板外部），S d q i ∆⋅⋅=∑ρ，所以 02ερd E =13. 半径为R 的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为ρ，求其场强分布。

解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l ，底面圆半径为r ，应用高斯定理求解。

i Sq rl E S E ∑=⋅=⋅⎰01π2d ε (1) 当R r<时， l r q i 2πρ⋅=∑，所以2ερrE =(2) 当R r>时，l R q i 2πρ⋅=∑，所以rR E 022ερ=14.一半径为R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O 点的电势。

解：取半径为r 、dr 的细圆环rdr dS dq πσσ2⋅==，则dq 在O 点产生的电势为024εσπεdrrdq dV ==圆盘中心O 点的电势为dr dV V R⎰⎰==002εσ02εσR = 15. 真空中两个半径都为R 的共轴圆环，相距为l 。

两圆环均匀带电，电荷线密度分别是λ+和λ-。

取两环的轴线为x 轴，坐标原点O 离两环中心的距离均为2l，如图所示。

求x 轴上任一点的电势。

设无穷远处为电势零点。

解：在右边带电圆环上取dq ，它在x 轴上任一点P 产生的的电势为220)2/(4Rl x dqdV +-=πε右边带电圆环在P 产生的的电势为⎰⎰+-==+dq Rl x dV V 220)2/(41πε220)2/(2Rl x R+-=ελ同理，左边带电圆环在P 产生的电势为220)2/(2Rl x RV ++-=-ελ由电势叠加原理知，P 的电势为02ελR V V V =+=-+-+-22)2/(1(R l x ))2/(122Rl x ++16. 真空中一半径为R 的球形区域内均匀分布着体电荷密度为ρ的正电荷，该区域内a 点离球心的距离为R 31，b 点离球心的距离为R 32。