V lim V n lim f ( ξi , ηi )Δ σi
λ0 λ0 i 1 n
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2. 二重积分的定义
定义 设二元函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，将D任 意划分成n个小区域 1 , 2 , n , 并以 i 和 d i 分别表示第i个小区域的面积和直径，记 在每个小区域 i 上任取一点 ( xi , yi ) （i=1,2,…，n）， 作乘积 f ( xi , yi ) i (i=1,2,…，n)，并作和．如果极限
第8章
§8.1
二重积分
二重积分的概念与性质
§8.2
§8.3 §8.4
直角坐标系中二重积分的计算
极坐标系中二重积分的计算 无界区域上简单反常二重积分的计算
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§8.1 二重积分的概念与性质
一. 二重积分的概念
1. 引例：求曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是xOy平面上的有界闭区域D，它 的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱 面，它的顶是曲面z=f(x,y),这里假设f(x,y)≥０，且f(x,y) 在D上连续，如下图所示.现在我们来讨论:如何求这个 曲顶柱体的体积?
f (x , y )dσ g (x , y )dσ
D D
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特别有
f (x , y )dσ f (x , y )dσ
D D
性质5 设M,m是函数f(x,y)在闭区域D上的最大值与最 小值，σ是D的面积，则 m σ ≤ f (x , y )dσ ≤ M σ．
max{d1, d2 ,dn}
当分割很细密，即λ→０时，由于z=f(x,y)是连续变化的， i 在每个小区域 上，各点高度变化不大，可以近似看 i (i ，把这点的 ,i ) 作平顶柱体．并在 中任意取一点 f ( 高度 作为这个小平顶柱体的高度， i ,i )
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D
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表示以曲面z=f(x,y)为顶、以D为底的被xOy面分成的 上方和下方的曲顶柱体体积的代数和．这就是二重积 分的几何意义．
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二. 二重积分的性质 性质1
D
若α，β为常数，则
D D
αf (x , y ) βg (x , y ) dσ α f (x , y )dσ β g (x , y )dσ
D λ0 i 1
n
i
, y i )Δ σi
其中f(x,y)叫做被积函数，x,y称为积分变量，f(x,y)dσ 称为被积表达式， dσ称为面积元素，D称为积分区 n 域．而 f (x i , y i )Δ σi 称为积分和． 注：(1) 这里积分和的极限存在与区域D分成小区域 i 的分法和点( xi , yi ) 的取法无关． 当f(x,y)在区域D上可积时，常采用特殊的分割方式和 取特殊的点来计算二重积分．在直角坐标系中，常用 分别平行于x轴和y轴的两组直线来分割积分区域D，这 样小区域 i 都是小矩形．这时小区域的面积 i＝xi · yi，
lim f (x i , y i )Δ σi
λ0 i 1 n
max{d1, d2 ,dn}
存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积 分，记作 f (x , y )dσi ,即
D
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f (x , y )dσ lim f (x
性质2 若积分区域D由D1，D2组成(其中D1与D2除 边界外无公共点)，则
f (x , y )dσ f (x , y )dσ f (x , y )dσ
D D1 D2
性质3 性质4
若区域D的面积为σ,则 dxdy . D 如果在区域D上总有f(x,y)≤g(x,y)，则
D
性质6(二重积分的中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域 D上连续，σ是D的面积，则在D内至少存在一点(ξ， η)，使得
f ( x, y)d f ( , )
D
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则第i个小曲顶柱体的体积的近似值为
Vi （ f i，i） i .
将n个小平顶柱体的体积相加，得曲顶柱体体积的近 似值 n n
V V n ΔV i f ( ξi , ηi )Δ σi
i 1 i 1
当分割越来越细，小区域 i 的直径越来越小，并逐渐 收缩成接近一点时，Vn就越来越接近V．若令λ→０， 对Vn取极限，该极限值就是曲顶柱体的体积V，即
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i 1
因此面积元素为dσ=dxdy，在直 角坐标系下
f (x , y )dσ f (x , y )dx dy
D D
(2) 可以证明，若f(x,y)在有界闭 区域D上连续，则二重积分 f (x , y )dσ 一定存在．
D
(3) 当f(x,y)≥0且连续时，二重积分 f (x , y )dσ 在数值上 D 等于以区域D为底、以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的 体积；当f(x,y)≤0时，二重积分 f ( x, y)d 表示该柱体 D 体积的相反数；当f(x,y)有正有负时，二重积分 f ( x, y)d
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我们知道平顶柱体的高是不变的，它的体积可用公式 体积=底面积×高
目录上一页 下一页源自退 出先将区域D分割成n个小区域： 1 , 2 , n , 同 时也用 i (i=1,2,…，n）表示第i个小区域的面积．以 每个小区域的边界线为准线，作母线平行于z轴的柱面， 这样就把给定的曲顶柱体分割成了n个小曲顶柱体．用 di 表示第i个小区域内任意两点之间的距离的最大值 (也称 为第i个小区域的直径)(i=1,2,…，n),并记