高中数学竞赛试题(模拟)一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( )A ．1292-+-x x B ．1292-+x xC ．1292+--x x D ． 1292+-x x2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上为单调增函数的是 ( )A ．①B ．②C ．①和③D ．②和④3.方程x x x x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．44.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( ) 5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．18 6.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80B ．40C ．24D ．-487.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( )A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则minmax S S的值为 ( )A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( )A ．x<y<zB ．y<z<xC ．z<x<yD ． z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中，==,，试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子17.设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 nnn n a a 111+≥+18.在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257. (1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||⋅的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证：33arcsin32≤++<γβαπ参考答案一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题：11. 25 12. 13. 4 14. 1三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根.由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22即 0122243=-+--a x x a x a 的实根 由A ⊆B ，知上方程左边含有一个因式12--x ax ，即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A=B ，即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根，则0)1(4222<--=∆a a a ，由此解得 43<a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得 ,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值范围是 ]43,41[-16.解：A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：76,117,129,108，且11712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设A 组做x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣，C 组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条) 依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因为 0≤x ≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax =125.因此，安排A 、D 组都做7天上衣，C 组做7天裤子，B 组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111 由算术-几何平均值不等式，可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a a a a a a 113120+-⋅⋅⋅注意到 110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即 nnn n a a 111+≥+18.解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C 又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+ 而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||BN BM ⋅的最小值的集合为空集.19.证明：由 题意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>当2πγβ≥+时，2πγβα>++.当2πγβ<+时，)(2γβπα+->，同样有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==， 则 1sin sin sin 12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大. 所以，当α=β=γ=33arcsin时，α+β+γ取最大值 333arcsin . 综上可知， 33arcsin32≤++<γβαπ。