x(k∆τ).∆τ.h(t −k∆τ)
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和： 则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和： x(t)的总响应为所有冲激响应之和
yf (t) ≈ ∑x(k∆τ).∆τ.h(t −k∆τ)
当：
∞
∆τ →dτ,k∆τ →τ
∞ −∞
∞
k=−∞
求和符号改为积分符号
x1 (t ) = e −t 和x2 (t ) = 5e −t 求分别输入
时的输出y(t)。 。 时的输出
解：
y1 (t ) = (e −2t + e − t )u (t )
y2 (t ) = (−3e
−2 t
+ 5e )u (t )
−t
2.2 单位冲激响应
单位冲激响应： 单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信 的激励下产生的零状态响应。 表示。 号 δ (t ) 的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。 表示 即：
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
y f (t) = ∫ x(τ )h(t −τ )dτ
上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算， 上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 x(t) 之间的一种二元运算 y(t)=x(t)*h(t)表示 表示。 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient) ：
重点： 重点： 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 掌握LTI系统的性质； 系统的性质； 掌握 系统的性质 难点： 难点： 深刻理解卷积积分与卷积和的概念； 深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
h(t ) ≡ T[{0},δ (t )]
分析如下电路：已知： 分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。 ， 。
2Ω ＋ 1.5δ(t) ＋ 0.25F －
解：建立系统的微分方程： 建立系统的微分方程：
uc(t)
－
du c RC + u c = 1.5δ (t ) dt du c 即： + 2u c = 3δ (t ) dt
∫
t
−∞
( x(τ ) ∗ h(τ ))dτ = ∫ x(τ )dτ ∗ h(t ) = x(t ) ∗ ∫ h(τ )dτ
−∞ −∞
t
t
应用类似的推演可以到处卷积的高阶导数或 多重积分之运算规律： 多重积分之运算规律： 则有： 设 y (t ) = x1 (t ) ∗ x2 (t ) ，则有：
y ( i ) (t ) = x1 (t ) ∗ x2
y(t) = x(t) *h(t) = ∫ x(τ )h(t −τ )dτ
−∞
∞
卷积积分的图解法 卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求 解步骤， x(t)*h(t)为例： (t)为例 解步骤，以x(t)* (t)为例： 1、将h(τ）反折，得h(-τ） 、 ）反折， ） 2、将h(-τ）沿τ轴时延 秒，得得 －τ） 、 轴时延t秒 得得h(t－ ） ） 轴时延 3、将x(τ）与 h(t－τ）相乘 ，得x(τ） h(t－τ） 、 ） － ） ） － ） 4、沿τ轴对 (τ） h(t－τ）积分 轴对x 、 轴对 ） － ）
i =0 n
y x (t ) = T [( y(t0 )， }] {0
−
y f (t ) = T [{0} x(t )] ，
λi t
y f (t ) = ∑ c f i e λi t + y p (t )
i =0
n
例：已知一系统的微分方程为： 已知一系统的微分方程为：
y ' (t ) + 2 y (t ) = x(t )，且y (0 − ) = 2
(t ) ∗ x2 ' (t )
4.与冲激函数或阶跃函数的卷积 4.与冲激函数或阶跃函数的卷积
由于冲激函数是在t=0时给系统注入了一定的能量，而在 由于冲激函数是在 时给系统注入了一定的能量，而在t>0 时给系统注入了一定的能量 时刻， 时，系统的激励为0。相当于在 －到0＋时刻，使系统具有了一 系统的激励为 。相当于在0 定的初始能量。因此， 定的初始能量。因此，系统的冲激响应与系统的零输入响应具 有相同的形式。这里， 表示系统的冲激响应。 有相同的形式。这里，用h(t)表示系统的冲激响应。即： 表示系统的冲激响应
h(t − τ )
1
x(τ )
（3）
− -2+t 2 1
0 1 tτ
3 1≤ t < 时 2 1 1 3 3 y (t ) = ∫ 1 (t − τ )dτ = t − − 2 4 16 2
（4）
h(t − τ )
1
x(τ )
3 ≤t <3 2
t τ
−
1 -2+t 2 0
1
1 t2 t 3 y (t ) = ∫ (t − τ )dτ = + + t −2 2 4 2 4
微分方程的特解形式： 微分方程的特解形式：
输入信号x(t) 输入信号x(t) 常数C 常数C
e at a ≠ λi
特解y 特解yp(t) 常数A 常数A
Ae at
j =0 L
e
at
a = λi
Ck t k ∑
k =0 L
λi为σ i重根
A j t j e at ∑
σi
Aj t j ∑
j =0
t
cos(ωt + β )
1
(5)
− 1 2
1
x(τ )
h(t − τ )
t > 3时，y (t ) = 0
0 1 -2+t t τ
y(t)
5 16
y(t)的时域波形如图所示： 的时域波形如图所示： 的时域波形如图所示
9 16
− 1 2
0
1
3 2
2
3
t
例：
x1(t) 1
x2(t) 1
-1
0
1
t
-2
0
2
t
求
y1 (t ) = x1 (t ) * x1 (t )
x(t) h1(t) h2(t) y(t)
（4）卷积的微分： 卷积的微分： 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数 与另一函数之卷积。即： 与另一函数之卷积。
( x(t ) ∗ h(t ))' = x' (t ) ∗ h(t ) = x(t ) ∗ h' (t )
（5）卷积的积分： ）卷积的积分：
i =1
n −1
为无时限的信号， 设x(t)为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 ∆τ 的 为无时限的信号 窄脉冲之和。 窄脉冲之和。
x (t ) x ( k∆ τ )
0
k∆ τ
+∞
∆τ
t
当
∆τ → 0
则： x(t) ≈
k=−∞
∑x(k∆τ).∆τ.δ(t −k∆τ)
设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对应于 τ t 设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对应于 =k∆ 的 h(t), 冲激响应为
x(t ) ∗ [h1 (t ) + h2 (t )] = x(t ) ∗ h1 (t ) + x(t ) ∗ h2 (t )
h1(t) x(t) h2(t) y(t)
（3）卷积的结合律： 卷积的结合律：
( x(t ) ∗ h1 (t )) * h2 (t ) = x(t ) ∗ (h1 (t ) ∗ h2 (t ))
y1 (t) 2
y2 (t ) = x1 (t ) * x2 (t )
y2 (t) 2
解：
-2 0
2
t
-3
-1
1
3
t
例：已知
x(t ) = e − at u (t )
a>0
h(t ) = u (t )
求：
y (t ) = x(t ) * h(t )
x（τ） （
1
h（ τ） （
1
t
t
例：已知
x(t ) = e u (−t ) h(t ) = u (t − 3)
h(t ) ≡ L[{0},δ (t )] = ceλt u(t )的形式。 这里，λ＝－2。即h(t ) = ce－2t u(t )代入方程中： －2ce－2t u(t )＋cδ (t ) + 2ce－2t u(t ) = 3δ (t ) ⇒c=3 ∴ h(t ) = 3e－2t u(t )
注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。 注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。
h(t) 1 1 t
x(t) 2 1 2 4 t
h(t-τ)
x(τ)
τ
t=0 t-1 t t<1
τ
1<t<2
τ
2<t<3
τ
3<t<4
τ
4<t<5
τ
如图所示， 例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t) 与 如图所示
x(t) 1
h(t) 1
−
1 2
0
1
t
0
2
t
h(−τ )
反折： 反折：
2.1
线性时不变连续系统的时域解法
连续时间系统处理连续时间信号， 连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分 方程来描述系统。 方程来描述系统。
微分方程的经典解。 微分方程的经典解。 微分方程
∑a y
i =0 i
n
(i )
(t ) = ∑ b j x ( j ) (t )