考研数学讲座（1）考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。

但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。

实在是一件不容易的事。

非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。

数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。

形成一棵参天大树。

在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。

在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。

而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。

在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。

不过，《概率》不是第一层次基础课程。

学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。

非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。

更不会从概念出发分析解决问题。

基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。

这是感到数学难学的关键。

大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。

教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。

考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。

这正好击中考生的软肋。

在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。

”原因就在于学过的概念早忘完了。

做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。

按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。

而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。

你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。

从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。

文献浩如烟海，知识千锤百炼。

非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。

方法十分经典，概念非常重要。

学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。

当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。

你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。

阳春三月风光好，抓好基础正当时。

考研数学讲座（2）笔下生花花自红在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。

”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。

也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。

考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。

动笔的时间很少。

数学书不比小说。

看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。

科学的思维是分层次的思维。

求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。

你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。

或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）；或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。

在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。

下面是一个简单的例。

“连续函数与不连续函数的和会怎样？”写成“连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。

（穷尽法）。

如果，“连续A + 不连续B = 连续C”移项，则“连续C －连续A = 不连续B”这与定理矛盾。

所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。

有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。

能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。

比如，题面上有已知条件 f ′(1)＞0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出h趋于0时， lim( f(1+h)－f(1）)/h＞0然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。

而写不出的人就抓瞎了。

又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式 Aα=λα，α≠ 0 ，要是移项写成（A－λE）α= 0，α≠ 0，这就表示α是齐次线性方程组（A－λE）X = 0 的非零解，进而由理论得到算法。

数学思维的特点之一是“发散性”。

一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。

车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。

望山跑死马。

思考一步写一步，观测分析迈下步。

路只能一步步走。

陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的28步。

对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。

《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。

求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。

《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。

好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。

《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。

对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。

掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。

要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。

我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。

在限定的考试时间内作某年研考的全巻。

中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。

看看成绩多少。

不要以为你已经看过这些试卷了。

就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。

多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。

考研数学讲座（3）极限概念要体极限概念是微积分的起点。

说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。

很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。

”近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。

他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。

”国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。

而牛顿就在这一点上率先突破。

极限概念起自于对“过程”的观察。

极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。

自变量的变化趋势分为两类，一类是x →x0 ；一类是x →∞，“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a ？”如果是，则称数a为函数的极限。

“无限接近”还不是严密的数学语言。

但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。

学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。

学习体验相应的发展趋势。

其次才是计算或讨论极限值。

自然数列有无限增大的变化趋势。

按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。

自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。

x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。

x →0+ 时，对数函数lnx趋于－∞；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。

x →∞时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。

在物理学中，正弦y = sinx的图形是典型的波动。

我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。

当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。

具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x = 0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。

函数的图形在 +1与－1之间上下波动140多次。

在x = 0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是“电子云”。

当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y = sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。

x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。

1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。

更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。

）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。

这就是高阶，低阶概念。

考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。

多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。

这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。

没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。

但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。

数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。

研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。

这就是“若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，) 总有f（x）＞0 ”*“若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”这是已知函数的极限而回头观察。

逆向思维总是更加困难。

不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。

除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。

若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，) 函数的绝对值恒小于1若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点x0 ，当∣x∣＞x0时，) 函数的绝对值全大于1*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1（你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x∣＜δ时，函数的绝对值全小于1 ）没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。

你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数δ＞0，并利用它们。

考研数学讲座（4）“存在”与否全面看定义，是数学的基本游戏规则。

所有的定义条件都是充分必要条件。

即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。

讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。

1．海涅定理观察x 趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0 ；我们总是向未来，看发展。

因而最直观的等价条件就是海涅定理：定理（1）极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0 ，相应的函数值总有相同的极限A存在。

这个定理条件的“充分性”没有实用价值。

事实上我们不可能穷尽x 逼近x0的所有方式。

很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。

即唯一性定理：“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。

”唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。

2．用左右极限来描述的等价条件用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：定理（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。