r sin sin
(12)
y
si n 1 z ( x 2 y 2 z 2 ) 3 /2 ( 2 y ) r co r ss i sn i r n 3
y 2
cos sin
(13)
y
r
c1 o2s y1 xrsin1cos
cos y r sin
(14)
sin sin cos sin cos
(15)
y
r
r r sin
z r z r z z
2rr2z2rcos
z
si n ( x 2 y 2 z 2 ) 1 /2 z 1 ( x 2 y 2 z 2 ) 3 /2 ( 2 z )
r cos
z
z
2
1r2co 2sr 31co 2s si2n
2
Ze
4
2 0
r
E
●直角坐标到极坐标的变换
x=rsincos (1)
r2=x2+y2+z2
(4)
y=rsinsin (2)
cos=z/(x2+y2+z2)1/2 (5)
z
z=rcos (3)
tg=y/x
(6)
x x r r x x （＊）
e r
(4)式对x求偏导，并按(1)式代入，
原子的结构和性质
本章要讨论的内容
▪ 1）核外电子运动状态； ▪ 2）电子在某状态时所具有的能量； ▪ 3）电子在核外的排布； ▪ 4）原子的光谱。
▪ 原子：由一个核和若干个电子组成的体系。 ▪ 化学：研究原子之间化合与分解的科学。 ▪ 道尔顿在19世纪初，提出了原子学说。 ▪ 汤姆迅在1897年发现了电子。 ▪ 巴耳末等人在1885－1901年，得出氢原子光谱的经验公式：
◆静电作用势能：
V
4 r
◆折合质量 ：
mN me mN me
对于H原子，mN＝1836.1me，＝1836.1me/1837.1＝0.99946me，折合质量与 电子质量相差无几，可粗略地认为核不动，电子绕核运动，把核放在原点上，即
可得出H原子和类氢离子的Schrödinger方程：
h2
8 2
r
r
r
sin
z
r
1
cos2
z
0
0
z
cos sin
(16)
z
r r
M ˆz 2ihxyyx
2 i r h sc i s n o s i s r i n c n r s o i r c s s n i o r n s s s i s i n c n i r n o c r c s o o r s ss i i n n
★电子的总能量 E ＝mv2/2－e2/40r
＝e2/80r－2e2/80r =－(e2/80r)
★按Bohr模型得出的氢原子能级：
E n
e2 8 0
me2 n 2 h 2 0
me4 8 02 n 2 h 2
★当电子由能量为E1跃迁到能量为E2的轨道时，其频率满足式为：
h E2 E1 hc / hc~
~
E2 E1 hc
me 4
8 02h3c
1 n12
1 n22
R
1 n12
1 n22
此式与氢原子光谱的经验公式完全相符，R即为Rydberg（里德伯）常数。
●波尔模型的缺陷：
▪ 1）既把电子运动看作服从Newton定律，又强行加入角动量量子 化；
▪ 2）电荷作圆周运动，就会辐射能量，发出电磁波，原子不能稳 定存在；
●Bohr半径的导出：电子稳定地绕核作圆周运动， 其向心力与电子和核间的库仑引力大小相等：mv2/r ＝e2/40r2(0=8.854×10-12 C2•J－1•m－1） 电子轨道运动角动量 M＝mvr＝nh/2 电子绕核运动的半径:
r＝n2h20/me2 , n＝1时，r＝52.92pm≡a0
● Bohr模型成功地解释了氢原子光谱
~ c
1
R
1 n12
1 n22
▪ Rutherford在1909-1911年间，通过实验证明原子不是实 心体，提出行星绕太阳原子模型。
▪ 1913年，Bohr综合了Planck的量子论、Einstein的光子说 和Rutherford的原子模型， 得出了Bohr氢原子结构模型。
波尔（Bohr）模型
▪ 3）波尔模型是带心铁环状原子，后来实验测定的是球形原子。 ▪ 4）只成功地解释氢原子和类氢原子的光谱 ，对多电子原子的
光谱无法解释；
●Bohr模型有很大局限性的根源：
波粒二象性是微观粒子最基本的特性，其结构要用量子力学 来描述。
第一节 单电子原子的薛定谔方程及其解
一、单电子原子的薛定谔方程
Ze 2
z
2rr2x2rsincos
x
0
y
x
y
r7 ）
x
(5)对x求偏导，将(3)(1)(4)代入，
sin z 1 (x2y2z2) 3/2(2 x) x r c2 o rssin co rs 3
cos cos （8）
x
r
sincoscos
⑥对x求偏导，
r
c1 2 o s x y 2 x r 2 r s s2 iis c n n 2 io n s rssic i n 2 n os
Mˆ z
ih
2
Mˆ 2
h2
4 2
1
sin
sin
1
sin2
2
2
2
1 r2
r
r 2
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin2
2
2
●变换为极坐标后的Schrödinger方程为：
1 r2
r 2 r
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin2
1）定态规则：原子有一系列定态，每一个定态有
一相应的能量，电子在这些定态的能级上绕核作 圆周运动，既不放出能量，也不吸收能量，而处 于稳定状态；电子作圆周运动的角动量M必须为 h/2的整数倍， M＝nh/2，n＝1，2，3，…
2）频率规则：当电子由一个定态跃迁到另一定态
时，就会吸收或发射频率为＝△E/h的光子。
sin (9) x r sin
将(7)(8)(9)代入(＊)，得： sin cos cos cos sin (10)
x
r
r r sin
类似 y 地 y r r： y y (11)
2rr2y2rsinsin
y