为正整数或零 为负整数
其它
2.4.3 函数解析的必要与充分条件
f ( z)在区域D内可导
f ( z)在区域D内解析
定理
函数f ( z) u( x, y) iv( x, y)在定义域 D内解析
的充要条件（ 1 ）u( x, y), v( x, y)在D内处处可微；
u v x y （ 2 ）在 D内处处满足柯西 黎曼方程 u v x y
则u( x, y), v( x, y)都是D内的调和函数 .
2 2 2v 2v u u xy yx x 2 y 2 0，
注：若 u( x, y), v( x, y)都为调和函数，但 u( x, y) iv( x, y) 不一定为解析函数 . y 2 2 如：u x y , v 2 , 2 x y u 2u 2u v 2 xy 2 x, 2 2, 2 2, 2 , 2 2 x x y x ( x y ) 2 2 2 2 3 2 2 3 v x y v 6 x y 2 y v 6x y 2 y 2 , 2 , 2 , 2 2 2 2 3 2 2 3 y ( x y ) y (x y ) x (x y ) 2 2 2 2 v v u u 2 0, 2 2 0, 2 x y x y
都是初等函数，在复平 面内处处连续；
2(1 y) 2 y 2 针对柯西 黎曼方程 在复平面上处处成立 2 x ( 2 x)
f ( z)在复平面上处处可导
(复平面构成一个区域) f ( z)在整个复平面上处处解 析。
2.5 调和函数
引例（热传导问题）
0 0 0
函数解析与可导之间的关系:
放大
D
z0
z0
z0
例1 常见函数的解析性质
指数函数 e z 在整个复平面上处处可 导，处处解析。
三角函数 sin z, cos z, 等在它们的定义域内处 处可导， 处处解析。 对数函数 Ln z及主值 ln z在除去原点及负实轴外
处处可导，处处解析。
整个复平面上解析 幂函数 z 除原点外解析 除原点及负实轴外解析

1 2 g ( x) x c (c为任意实数） 2 1 2 1 2
v ( x, y ) 2 x 2 xy 2 y c
2 y x (2 y g ' ( x)) g ' ( x) x
v 2 y g ' ( x) 根据（2）得 x

u( x, y)和v( x, y)为调和函数 . u v u v 又因为柯西-黎曼方程 2x 2 y x y y x 成立, 所以， v( x, y)为u( x, y)的共轭调和函数。
2u 2u 2v 2v 0， 0 2 2 2 2 x y x y
注:(1) 函数f ( z ) u( x, y) iv ( x, y)在区域D内解析，
充要条件
v( x, y)为u( x, y)的共轭调和函数。
证明: f ( z) u( x, y) iv( x, y)为解析函数
u( x, y), v( x, y)为调和函数 (定理2.10) 且它们的一阶偏导数满 足柯西 - 黎曼方程 . (解析的充要条件)
(二)解决复变函数的表示问题.(第四章) 例如：给定复变函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y)是否一定可以
例子： f ( z) x y i 2 xy f ( z) x 2 y 2 i 2xy
2 2
表示为 z的形式？
f ( z) z 2 f ( z) ? 若f ( z )为解析函数，则f ( z )一定可表示为z的形式。 (三)解决调和函数的问题.(第2.5小节)
冰冷却
火加热
稳定后，导体中温度的分布情况：
2T 2T T ( x, y)满足： 2 2 0 x y
2.5.1 调和函数的概念 定义: 若二元实变函数 h( x, y)在区域 D内具有二阶连续 2 2 偏导数，且满足 Laplace 方程 h h 0 2 2 x y 则称h( x, y)为D内的调和函数。
( x, y )
v( x, y)
2.4
解析函数
2.4.1 解析函数的概念
而且在z0的某个邻域 定义: 若函数f ( z)不仅在z0处可导， 内的任意一点处可导，则称f ( z)在z0解析。
若函数f ( z)在区域D内每一点解析，则称 f ( z)在区域D内解析。
z z0
z0
解析函数的应用:
(一)解析函数的任意阶导数都是存在的.(第三章)
u( x, y), v( x, y)为调和函数 u v u v 但 , . (不满足柯西-黎曼方程) x y y x u( x, y) iv( x, y)不是解析函数
定义: 设函数 u( x, y), v( x, y)为D内的调和函数，且它们
的一阶偏导数满足柯西 - 黎曼方程， 则称v( x, y)为u( x, y) 的共轭调和函数.
u( x, y), v( x, y)具有二阶连续偏导数
'' 则f xy " ( x, y ) f yx ( x, y )]
'' [若函数 f ( x, y )的二阶混合偏导数 f xy " ( x, y ), f yx ( x, y )在( x,y)连续，
定理2.10 若f ( z) u( x, y) iv( x, y)为区域 D内的解析函数，
(2)若v( x, y)为u( x, y)的共轭调和函数，则 u( x, y)通常不是 v( x, y)的共轭调和函数。
(u( x, y), v( x, y)不能任意调换，即 u( x, y) iv( x, y) 为解析函数，但 v( x,y) iu( x,y)不一定是解析函数）
例如：设 u( x,y) x 2 y 2 , v( x, y) 2xy,
d. 判定b, c中的共同点为 f ( z)的可导点, 若可导的点构成一个区域,则f ( z)在这一区域上解析； 若可导的点只是一些孤立的点, 则f ( z )处处不解析 .
例2 （ 1 ）f ( z) z Im(z)
解: 令z x iy, f ( z) ( x iy) y xy iy 2
1 2 2 xy y g ( x) 2

1 2 1 2 f z x y xy i y 2 xy x c 2 2
2 2
1 2 1 2 f ( z ) x y xy i ( y 2 xy x ) 2 2
2 2
(四)解析函数对应的函数图像有较好的几何性质.(第六章 保形映照;第七章 具体的应用-电场的分析)
注:
f ( z)在z 处解析 f ( z)在z 处解析 f ( z)在z 处可导 针对一个区域: f ( z)在区域D内可导 f ( z)在区域D内解析
针对一个点: f ( z)在z0处可导
f ( z)在整个复平面上处处不 解析。
(2) f ( z) 2x(1 y) i( x2 y 2 2 y)
解: u( x, y) 2x(1 y)
u 2(1 y ) x v 2x x
v( x, y) x2 y 2 2 y
u 2 x y v 2 y 2 y
f ( z) u( x, y) iv( x, y) z 2为解析函数 v( x, y)为u( x, y)的共轭调和函数。 ( z) v( x, y) iu( x, y) 2xy i( x 2 y 2 )不是解析函数
( 不满足柯西-黎曼方程)
所以， u( x, y)不是v( x, y)的共轭调和函数。
x 0 由 f 0 0( ) c0 y 0
（方法二） 根据共轭调和函数的定义
u v u( x, y), v( x, y)满足柯西－黎曼方程 x y u v x y 可以得到 v( x, y)的全微分 u u dv( x, y ) ( )dx dy y x ( x, y ) u u v( x, y ) ( )dx dy c ( x0 , y0 ) y x
其中， ( x0 , y0 )为任意的一点， c为任意实数。 【定理2.11】
例3（续） （方法二） 根据柯西－黎曼方程，得 u v u v 2 y x 2x y y y x x u u dv( x, y ) ( )dx dy ( x 2 y)dx (2 x y)dy y x
2.5.2 已知实部或虚部的解析函数的表达式
问题： 已知调和函数 u( x, y),求解函数 v( x, y)使得
f ( z ) u( x, y) iv( x, y)为解析函数。 (或者就是求解 u( x, y)的共轭调和函数）
（方法一） 根据共轭调和函数的定义 u v u( x, y), v( x, y)满足柯西－黎曼方程 x y u v x y 得到v( x, y)满足的微分方程，通过求解微分方程可得到结果
u y x v 0 x
u( x, y) xy
u x y v 2y y
v( x, y) y 2
都是初等函数，在复平 面内处处连续； u v x y 针对柯西 黎曼方程 仅在 z 0处成立 u v x y f ( z)仅在z 0处可导
问题：判定f ( z)的解析性？
a. 确定u( x, y), v( x, y);
u u v v b. 计算偏导数 , , , 判定它们在导数 , , , 在哪些点处满足 x y x y 柯西 黎曼方程？