广州市越秀区2019-2020学年上学期期末考高二数学试卷一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2B ．1(,0)4C ．1(0,)2D ．1(0,)42．双曲线221169x y -=的一条渐近线方程是（ ）A ．340x y -=B ．430x y -=C ．9160x y -=D ．1690x y -=3．命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是( ) A ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 B ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 C ．若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 D ．若+a b 不是偶数，则a ，b 不全是偶数4．设0a >，0b >，则“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，则乙不输的概率是（ ） A ．0.8B ．0.7C ．0.3D ．0.26．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[10,15)和[25,30)为二等品，在区间[10,15)和[30,35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.15D ．0.257．如图，在四面体OABC 中，2OM MA →→=，BNNC →→=，则MN→=（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++8．长方体1111ABCD A B C D -中，1AD CD ==，12DD =，则直线1DB 与直线1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 9．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不大于6的概率记为1p ，点数之和大于6的概率记为2p ，点数之和为奇数的概率记为3p ，则（ ）A ．123p p p <<B ．132p p p <<C ．213p p p <<D ．312p p p <<10．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，已知101220ii x==∑，1011610i i y ==∑，ˆ4b=，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）厘米. A ．165 B ．168 C ．173 D ．17811．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为92，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的标准差为（ ）A ．4B ．2C ．5D 12．已知圆锥曲线C 的方程是225658x xy y -+=，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．曲线C 上的点的横坐标x 的取值范围是⎡⎢⎣⎦B ．曲线C 关于直线y x =对称C ．曲线C 上的点到曲线C 的对称中心的最远距离为2D ．曲线C 的离心率是12二、填空题13．命题“0x ∃∈R ，2010x +…”的否定是_________．14．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，那么应抽取男运动员的人数是________． 15．已知点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a→=-，若2AB a →→=，则点B 的坐标是_________．16．在相距1000m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s ，已知声速340m /s ．以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为________． 三、解答题17．一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．（1）从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率．（1）作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率．（3）求该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．（1）求证：1C DAD ⊥；（2）求二面角11A C D A --的正切值．20．已知直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，且OAB V 是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）若6AB =，3AD =，试问在线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD ？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>，1F 、2F是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C上的一个动点，且12PF F △面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）若Q 是椭圆C 上的一个动点，点M ，N 在椭圆2213x y +=上，O 为原点，点Q ，M ，N 满足3OQ OM ON →→→=+，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解析广州市越秀区2019-2020学年上学期期末考高二数学试卷一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2B ．1(,0)4C ．1(0,)2D ．1(0,)4【答案】B【解析】 由抛物线的方程2y x =，可知12p =，所以抛物线的焦点坐标为1(,0)4，故选B. 2．双曲线221169x y -=的一条渐近线方程是（ ）A ．340x y -=B ．430x y -=C ．9160x y -=D ．1690x y -=【答案】A【解析】直接由双曲线的渐近线的定义可得渐近线的方程． 【详解】解：由双曲线的方程可得216a =，29b =，焦点在x 轴上，所以渐近线的方程为：34b y x x a =±=，即340±=x y ，故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．3．命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是( ) A ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数B ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数C ．若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数D ．若+a b 不是偶数，则a ，b 不全是偶数 【答案】C【解析】根据命题的否定和命题之间的关系确定结论即可． 【详解】解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为：若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，属于基础题．4．设0a >，0b >，则“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用椭圆的焦点在y 轴上的充要条件即可得出． 【详解】解：“b a >”⇔“椭圆22221x y a b +=的焦点在y 轴上”，∴“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的充要条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查了椭圆的焦点在y 轴上的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，则乙不输的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.7C ．0.3D ．0.2【答案】A【解析】利用互斥事件概率加法公式直接求解． 【详解】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2， ∴乙不输的概率是：10.20.8p =-=．故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[10,15)和[25,30)为二等品，在区间[10,15)和[30,35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.15D ．0.25【答案】D【解析】由频率分布直方图得在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=，由此能求出从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率． 【详解】解：在区间[10,15)和[30,35)为三等品， 由频率分布直方图得：在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=， ∴从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25． 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7．如图，在四面体OABC 中，2OMMA →→=，BNNC →→=，则MN→=（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++【答案】D【解析】由已知直接利用向量的加减法运算得答案． 【详解】 解：∵2OMMA →→=，BNNC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选：D ．【点睛】本题考查空间向量基本定理，属于基础题．8．长方体1111ABCD A B C D -中，1AD CD ==，12DD =，则直线1DB 与直线1BC 所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解． 【详解】解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(1,1,2)B ，1(0,1,2)C ， ∴1(1,1,2)DB →=，1(1,0,2)BC →=-，由111111cos ,||||DB BC DB BC DB BC →→→→→→⋅<>=⋅==． 得直线1DB 与直线1BC所成角的余弦值为． 故选：A ．【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，属于中档题．9．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不大于6的概率记为1p ，点数之和大于6的概率记为2p ，点数之和为奇数的概率记为3p ，则（ ）A ．123p p p <<B ．132p p p <<C ．213p p p <<D ．312p p p <<【答案】B【解析】使用列举法求出三个概率，再比较大小． 【详解】解：随机掷两枚质地均匀的骰子共有36个基本事件，它们发生的可能性相等． 其中向上的点数和不大于6的基本事件共有15个，分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，11553612P ∴==． 点数之和大于6的基本事件共有21个，分别是(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．22173612P ∴==． 由于骰子的点数奇偶数相同，故点数之和为偶数的概率312P =． 132p p p ∴<<．故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．10．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，已知101220ii x==∑，1011610i i y ==∑，ˆ4b=，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）厘米. A ．165 B ．168 C ．173 D ．178【答案】C【解析】由已知求得x ，y 的值，结合4b=$求得$a ，可得线性回归方程，取25x =求得y 值即可． 【详解】解：10112202210i i x x ====∑，1011161016110i i y y ====∑， 又y bx a =+$$$，4b=$，∴$16142273a y bx=-=-⨯=$． ∴y 关于x 的线性回归方程为$473y x =+． 取25x =，得42573173y =⨯+=（厘米）． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，属于基础题．11．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为92，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的标准差为（ ）A ．4B ．2C ．5D 【答案】B【解析】由平均数求得x 的值，再计算7个剩余分数的方差和标准差． 【详解】解：将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为92； 最低分是87，当9x =时，剩余7个数分别是89、90、91、92、94、95、98，平均值为1(89909192949598)92.7927⨯++++++≈>， 所以8x ≤，计算剩余7个数的平均值为190(101245)927x +⨯-++++++=，解得3x =；所以7个剩余分数的方差为：217s =⨯2228992)(9092)[92)((91-+-+-2222(9292)(9392)(9492)(9592)4]+-+-+-+-=．所以标准差为2s =．故选：B ．【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数和方差、标准差的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题．12．已知圆锥曲线C 的方程是225658x xy y -+=，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．曲线C 上的点的横坐标x 的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦B ．曲线C 关于直线y x =对称C ．曲线C 上的点到曲线C 的对称中心的最远距离为2D ．曲线C 的离心率是12【答案】D【解析】由关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=有实数解，运用判别式非负，解得x 的范围，可判断A ；将x 换为y ，y 换为x ，方程不变，可判断B；由旋转变换公式可得x y ⎧=⎪⎪⎨''''⎪=⎪⎩，代入原方程化简可得椭圆方程，由椭圆的性质可判断C ，D ． 【详解】解：方程225658x xy y -+=，可看做关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=，根据方程有实数解的条件可得223645(58)0x x ∆=-⨯-≥，解得x ，故A 正确； 将x 换为y ，y 换为x ，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =对称；同样将x 换为y -，y 换为x -，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =-对称，故B 正确；由旋转变换公式可得x y ⎧=⎪⎪⎨''''⎪=⎪⎩，代入曲线C 的方程可得()2562x y ''-⨯-⨯''''+()2582x y ''+⨯=，化为2214x y ''+=，即为椭圆方程，且长轴长为4，即曲线C 上的点到曲线C 的对称中心O 的最远距离为2，离心率为2e ==，故C 正确，D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查圆锥曲线的方程和性质，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，以及数形结合思想，属于难题．二、填空题13．命题“0x ∃∈R ，2010x +…”的否定是_________． 【答案】对任意0x ∈R ，使2010x +>【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可. 【详解】解：∵命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”是一个特称命题∴命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”的否定是“对任意0x ∈R ，使2010x +>” 故答案为：对任意0x ∈R ，使2010x +> 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词．14．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，那么应抽取男运动员的人数是________． 【答案】12【解析】先求出男运动员的人数占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求． 【详解】解：男运动员的人数占的比例为40440307=+，故应抽取的男运动员的人数为421127⨯=人，故答案为：12． 【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题． 15．已知点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a →=-，若2AB a →→=，则点B 的坐标是_________．【答案】(7,10,24)-【解析】设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得1(-x ，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标． 【详解】解：点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a→=-，2AB a →→=，设(,,)B x y z ，则(1,2,)(6,8,24)x y z --=-， 解得7x =，10y =，24z =-，∴点B 的坐标(7,10,24)-． 故答案为：(7,10,24)-． 【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查向量坐标运算法则和向量相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．在相距1000m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s ，已知声速340m /s ．以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为________．【答案】221115600134400x y -=【解析】由题意可得双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且由双曲线的定义可得a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系进而求出双曲线的方程． 【详解】解：由题意可得双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，且21000c =，22340a =⨯，即500c =，340a =， 所以22222500340134400b c a =-=-=，2115600a =，所以双曲线的方程为：221115600134400x y -=；故答案为：221115600134400x y -=．【点睛】考查由双曲线的定义求标准方程的求法，属于基本知识直接应用题，双基考查题，属于基础题．三、解答题17．一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．（1）从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率． 【答案】（1）13（2）38【解析】（1）从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数246n C ==，利用列举法取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件4416n =⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有6个，由此能求出第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率． 【详解】解：（1）一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签． 从盒中不放回地随机取两张标签， 基本事件总数246n C ==，取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有：（1，2），（1，4），共2个， ∴取出的标签上的数字之和不大于5的概率2163p ==． （2）从盒中有放回地随机取两张标签， 基本事件4416n =⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有： （1，2），（1，4），（1，8），（2，4），（2，8），（4，8），共6个， ∴第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率63168p ==． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．（1）作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率．（3）求该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）． 【答案】（1）见解析（2）0.58（3）0.36【解析】（1）由频数分布表能作出使用节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图． （2）由频数分布表能估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.4m 的概率．（3）由频率分布直方图得[0，0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=，[0.3，0.4)的频率为20.10.2⨯=，由此能求出该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值． 【详解】解：（1）由频数分布表作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图如下：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率为：21026200.58100P +++==．（3）由频率分布直方图得：[0,0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=， [0.3,0.4)的频率为20.10.2⨯=，∴该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）为：0.50.380.30.10.360.2-+⨯=．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查概率、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．（1）求证：1C DAD ⊥；（2）求二面角11A C D A --的正切值．【答案】（1）见解析（2【解析】（1）推导出11C D AA ⊥，111C D A B ⊥，从而1C D ⊥平面11ABB A ，由此能证明1C DAD ⊥．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A C D A --的正切值．【详解】（1）证明：∵在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．∴11C D AA ⊥，111C D A B ⊥，∵1111AA A B A =I ，∴1C D ⊥平面11ABB A ， ∵AD ⊂平面11ABB A ，∴1C DAD ⊥．（2）解：以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C ，1(0,2,2)B ，(1,1,2)D1(2,0,2)AC →=-，(1,1,2)AD →=-，设平面1ADC 的法向量(,,)n x y z =r ， 则122020n AC x z n AD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，取1x =，得(1,1,1)n →=-， 平面11AC D 的法向量(0,0,1)m →=，设二面角11A C D A --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ→→→→⋅==⋅，sin θ== ∴二面角11A C D A --的正切值为sin tan cos θθθ==．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 20．已知直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，且OAB V 是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？【答案】（1）24y x =（2）0k=或1k =-或12k =【解析】（1）将4x =代入抛物线的方程，求得A ，B 的坐标，由等腰直角三角形的性质可得OA OB ⊥，再由两直线垂直的条件，解方程可得p ，进而得到抛物线的方程； （2）由题意可得直线l 与抛物线的对称轴平行，可得0k =，又直线和抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，可得所求值． 【详解】解：（1）直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，可设A ，(4,B -，又OAB V 是等腰直角三角形，可得OA OB ⊥1=-，解得2p =， 即有抛物线的方程为24y x =；（2）直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+， 当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k =；当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩可得222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=，0k ≠， 由2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k+=--=，解得1k =-或12k =， 综上可得0k =或1k =-或12k =，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，主要是直线和抛物线有交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）若6AB =，3AD =，试问在线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）存在，DQ的长为． 【解析】（1）由已知证明AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥，再由DE PA ⊥，结合线面垂直的判定可得DE ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明在线段DE 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值，并求得DQ的长为． 【详解】（1）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =，而AB AD ⊥，∴AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥， 在等边三角形PAD 中，∵E 为PA 的中点，∴DE PA ⊥， 又PA AB A =I，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ∴DE ⊥平面PAB ；（2）解：取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系．则3,6,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,6,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛ ⎝⎭，3,0,44E ⎛ ⎝⎭． 假设线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD所成角的正弦值为22， 设DQ DE λ→→=（01λ剟），则94DQ λ→⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，93,6,4QB DB DQ λ→→→⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面PDC 的一个法向量为n (x,y,z)→=，3,0,22DP →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,6,0)DC →=．由30260n DP x nDC y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩u u ur r u u u r r ，取1z =-，得1)n →=-．由|cos ,|QB n→→<>=||||||QB n QB n →→→→⋅=⋅=解得：34λ=或4λ=（舍）．∴2716DQ →⎛=⎝⎭，则||8DQ →=． ∴在线段DE 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD，DQ．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，属于中档题．22．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>，1F 、2F是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C上的一个动点，且12PF F △面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）若Q 是椭圆C 上的一个动点，点M ，N 在椭圆2213x y +=上，O 为原点，点Q ，M ，N 满足3OQ OM ON →→→=+，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2213010x y +=（2）是定值，且定值为13-．【解析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆方程；（2）设0(Q x ，0)y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=，由3OQ OM ON →→→=+得0121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，代入22003x y +得2200121233276(2)x y x x y y +=+++，所以121220x x y y +=，即12OM ON k k =-g ，从而得到直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为12-． 【详解】解：（1）由题意可知：222c abc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222301020a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2213010x y +=；（2）设()00,Qx y ，()11,M x y ，()22,N x y ，∴2200330x y +=，221133xy +=，222233x y +=，∵3OQ OM ON →→→=+， ∴()()()001122,,3,x y x y x y =+，∴0121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，∴()()22220012123333x y x x y y +++=+=2222112211226931827x x x x y y y y +++++327=++()12126330x x y y +=，∴121230x x y y +=，∴121213y y x x =-，即13OM ON k k ⋅=-， ∴直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为13-． 【点睛】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．。