第三章习题解1 在一箱子中装有12只开关,其中2 只就是次品,在其中任取两次,每次任取一只,考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样。

定义随机变量X ,Y 如下: 0,1X ⎧=⎨⎩若第一次取出的是正品，，若第一次取出的是次品。

0,Y 1⎧=⎨⎩若第二次取出的是正品，，若第二次取出的是次品。

试分别就(1),(2)两种情况写出X ,Y 的联合分布律。

解 (1)放回抽样由于每次抽取时都就是12只开关,第一次取到正品有10种可能,即第一次取到正品的概率为 105{0}126P X ===, 第一次取出的就是次品的概率为 21{1}126P X === 同理,第二次取到正品的概率105{0}126P Y ===第二次取到次品的概率为21{1}126P Y ===由乘法公式得X ,Y 的联合分布率为{,}{|}{}{}{}P X i Y j P Y j X i P X i P X i P Y j =========,0,1i =,0,1j =。

具体地有5525{0,0}6636P X Y ===⨯=,515{0,1}6636P X Y ===⨯=, 155{1,0}6636P X Y ===⨯=,111{1,1}6636P X Y ===⨯=用表格的形式表示为(2)不放回抽样 5{0}6P X ==,1{1}6P X == 因为第二次抽取时,箱子里只有11只开关,当第一次抽取的就是正品,则箱子中有9只正品)。

所以9{0|0}11P Y X ===, 2{1|0}11P Y X === 10{0|1}11P Y X ===, 1{1|1}11P Y X ===则5945{0,0}61166P X Y ===⨯=5210{0,1}61166P X Y ===⨯=, 11010{1,0}61166P X Y ===⨯=,111{1,1}61166P X Y ===⨯=2 (1)盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数,求X 与Y 的联合分布律。

(2)在(1)中求{}P X Y >,{2}P Y X =,{3}P X Y +=,{3}P X Y <-。

解 X 可能的取值为0,1,2,3;Y 的可能取值为0,1,2。

{0,0}{}0P X Y P ===∅=(因为盒子里总共只有7只球,每次取4只球,而红球2只,故不可能白球与黑球同时都取不到){0,1}{}0P X Y P ===∅=, 220223471{0,2}35C C C P X Y C ==== {1,0}{}0P X Y P ===∅= 1123226{1,1}3535C C C P X Y ====。

1213226{1,2}3535C C C P X Y ====。

22323{2,0}3535C C P X Y ====21132212{2,1}3535C C C P X Y ====, 22323{2,2}3535C C P X Y ====, 31322{3,0}3535C C P X Y ====, 31322{3,1}3535C C P X Y ====,{3,2}{}0P X Y P ===∅=其联合分布律为(2){}{1,0}{2,1}{2,1}P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+== {3,0}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y +==+==+== 3122219003535353535=+++++=6{2}{0,0}{1,2}35P Y X P X Y P X Y ====+===; {3}{3,0}{2,1}{1,2}P X Y P X Y P X Y P X Y +====+==+== 2126204353535357=++==。

{3}{3,0}{2,1}{1,2}P X Y P X Y P X Y P X Y <-=<=+<=+<=361102353535357=++==。

3 设随机变量(,)X Y 的概率密度为 (6),02,24(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩，其它.(1)确定常数k ; (2)求{1,3}P X Y <<; (3)求{ 1.5}P X <; (4){4}P X Y +<。

解 由(,)1f x y dxdxy ∞∞-∞-∞=⎰⎰得242(,)(6)f x y dxdxy dx k x y dy ∞∞-∞-∞=--⎰⎰⎰⎰22420(6)2y k y xy dx =--⎰2220(62)(6)8k x dx k x x k =-=-=⎰ 令81k =, 得18k =。

(2)131{1,3}(6)8P X Y dx x y dy -∞-∞<<=--⎰⎰21313202011(6)(6)882y dx x y dy y xy dx =--=--⎰⎰⎰12100171173()()828228x dx x x =-+=-+=⎰1.54021{ 1.5}{ 1.5,24}(6)8P X P X y dx x y dy <=<<<=--⎰⎰1.521.501112727(62)(6)888432x dx x x =-=-=⨯=⎰ 24021{4}(6)8x P X Y dx x y dy -+<=--⎰⎰(积分区域为02x ≤≤,24y x ≤≤-)22011(46)82x x dx =-+⎰3220111162(26)86833x x x =-+=⨯=。

4 设X ,Y 就是非负的连续型随机变量,它们相互独立。

(1)证明 0{}()()X Y P X Y F x f x dx ∞<=⎰,其中()X F x 就是X 的分布函数,()Y f y 就是Y 的概率密度。

(2)设X ,Y 相互独立,其概率密度分别为11,0,()0,.x X e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其它, 22,0,()0,.x Y e y f y λλ-⎧>=⎨⎩其它求{}P X Y <。

解 (1)因为X ,Y 就是非负的连续型随机变量,且相互独立,所以(,)()()X Y f x y f x f y =,在区域(,)x x y -∞<<∞<内 {}(,)()()X Y xx yP X Y f x y dxdy f x dx f y dy ∞∞-∞<<==⎰⎰⎰⎰()[()]()[()()]X Y x X Y Y f x F y dx f x F F x dx ∞∞∞-∞-∞==∞-⎰⎰()[1()]()()()X Y X X Y f x F x dx f x dx f x F x dx ∞∞∞-∞-∞-∞=-=-⎰⎰⎰1()()1()(())X Y Y X f x F x dx F x d F x ∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰(分部积分)1()()()()Y X X Y F x F x F x f x dx +∞∞-∞-∞=-+⎰()()X Y F x f x dx ∞-∞=⎰(2) 12121210{}[]xxx x x xP X Y eedx e e dx λλλλλλλ∞∞∞----∞<==⎰⎰⎰1212()()11101212x xe dx e λλλλλλλλλλλ∞-+-+∞==-=++⎰5 设随机变量(,)X Y 具有分布函数1,0,0(,)0,x y e e c x y F x y --⎧--+>>=⎨⎩其它,求边缘分布函数。

解 当0x >时()lim (,)lim(1)1x y x y x X y y F x F x y e e e e -----→∞→∞==--+=-其它情形 ()0X F x =,即1,0,()0,x X e x F x -⎧->=⎨⎩其它。

同理 当0y >时()lim (,)lim(1)1x y x y y Y x x F y F x y e e e e -----→∞→∞==--+=-其它情形 ()0Y F y =,即1,0,()0,y Y e y F y -⎧->=⎨⎩其它。

6 将一枚硬币掷三次,以X 表示前两次中出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数,求X,Y 的联合分布律以及(,)X Y 的概率密度。

解 将一枚硬币掷三次,其H 与T 出现的情况为｛HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT ｝ X 的取值为0,1,2,Y 的取值为0,1,2,3则1{0,0}8P X Y ===(TTT), 1{0,1}8P X Y ===(TTH){0,2}0P X Y ===, {0,3}0P X Y === {1,0}0P X Y === 2{1,1}8P X Y ===(HTT,THT) 2{1,2}8P X Y ===(HHT,THH) {1,3}0P X Y === 1{2,0}8P X Y === {2,1}0P X Y ===1{2,2}P X Y === (HHT) {2,3}0P X Y ===(HHH)7 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为4.8(2),01,0(,)0,.y x x y xf x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它求边缘概率密度。

解 当 01x ≤≤时220()(,) 4.8(2) 2.4(2)2.4(2)xx X f x f x y dy y x dy y x x x ∞-∞==-=-=-⎰⎰22.4(2),1,()0,.X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其它当 01y ≤≤时12121()(,) 4.8(2) 4.8(2)2.4(34)2Y yy f y f x y dx y x dy y x x y y y ∞-∞==-=-=-+⎰⎰22.4(34),01,()0,.Y y y y y f y ⎧-+≤≤=⎨⎩其它8 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩其它求边缘概率密度 解 当0x >时,()(,)y yx X xxf x f x y dy e dy e e ∞∞--∞--∞===-=⎰⎰于就是 ,0,()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当0x >时00()(,)yy y yy Y f y f x y dx e dx e x ye ∞----∞===-=⎰⎰于就是 ,0,()0,0y Y ye y f y y -⎧>=⎨≤⎩9设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22,1(,)0,.cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其它(1)确定常数c ;(2)求边缘概率密度 解 (1) 因为22111222111(,)2x xc f x y dxdy cx dx ydy x y dx ∞∞-∞-∞--==⎰⎰⎰⎰⎰11262610()()2c x x dx c x x dx -=-=-⎰⎰1370114()3721c x x dx c =-=⎰令 4121c =,得214c =。