随机信号分析第一章答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()())0.210.520.33i i if x p x x x x x δδδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i iF x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（9.10. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae-=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 11. 12.13. 若随机变量X 与Y 的联合分布律为求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

解：（1）()()()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j ijF x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑()()()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j ijf x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑（2）X 的分布律为（i ij jP P ⋅=∑）()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+=（3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。

14.15. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X Y V X Y =+⎧⎨=-⎩。

（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ； （2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为()()22221,,,2x y XY f x y ex y Rπ+-=∈由反函数 22u v x u v y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 1112211222J ==--， ()()()22241,,,,4u v UV XY f u v f x y J eu v R π+-=⋅=∈由于,（3）22224441114u v u v ee e π+---⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2,,UV U V f u v f u f v u v R =∈所以随机变量U 与V 相互独立。

16. 17. 18. 19.20. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，又设 3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。

（22()()D U EU EU =-）解：首先，22()()5EX D X EX =+=，22()()25EY D Y EY =+=。

又因为()(,)7XY E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+⨯=+⨯=于是(3)36EU E X Y EX EY =+=+=(2)25EV E X Y EX EY =-=-=-()2222222()()3()(96)()76D U EU EUE X Y EU E X XY Y EU =-=+-=++-=()2222222()()2()(44)()52D V EV EVE X Y EV E X XY Y EV =-=--=-+-=[]22()(3)(2)(352)70E UV E X Y X Y E X XY Y =+-=--=-(,)()40Cov U V E UV EU EV =-⨯=-21. 22.23. 已知随机变量X 服从[0,]a 上的均匀分布。

随机变量Y 服从[,]X a 上的均匀分布，试求（1） (),(0)E Y X X a ≤≤； （2） EY解：（1）对[0,]x a ∈有，()2a XE Y X +=（2）/23(())224a Xa a EY E E Y X E a ++⎛⎫====⎪⎝⎭24.25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从（参数为λ）泊松分布。

进舱后每个粒子造成损坏的概率为p ，彼此独立。

求：造成损坏的粒子平均数目。

解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示1,1,2,,0i X i N⎧==⎨⎩ 造成损坏没有造成损害,造成损坏的粒子数1Nii Y X ==∑ ，于是()11(|)(|)|ni i ni i E Y N n E X N n E X N n =======∑∑可合理地认为N 和i X 是独立的，于是()1(|)ni i E Y N n E X np====∑()()()()(|)E Y E E Y N E Np pE N p λ====27． 若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数：（1）X 为常数c ，即{}1P X c ==；（2）参数为2的泊松分布； （3）（－1，1）伯努利分布：()0.4(1)0.6(1)f x x x δδ=-++（4）指数分布：303(),xx e f x -≥⎧=⎨⎩其他解：（1）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦， 如果c=0，则()1X v φ=。

（2）{}()()0001()!!jv jvjvX jvk X k kjv k jvk k k e e v E e e P X k e e e e k k e e e λλλλλφλλ∞=∞∞--==--⎡⎤===⎣⎦====∑∑∑（3）()11()0.40.60.40.6jv jvX jv jv jvX v E e e e e e φ--⎡⎤==⨯+⨯=+⎣⎦（4）3(3)003()333jvXjvx xjv xX v E e e e dx edx jv φ+∞+∞--⎡⎤==⨯==⎣⎦-⎰⎰28. 随机变量123,,X X X 彼此独立；且特征函数分别为123(),(),()v v v φφφ，求下列随机变量的特征函数：（1）12X X X =+； （2）123X X X X =++； （3）12323X X X X =++； （4）1232410X X X X =+++；解：（1）12X X X =+12()()()jvXX v E e v v φφφ⎡⎤==⎣⎦（2）123X X X X =++同（1），123()()()()X v v v v φφφφ= （3）12323X X X X =++123()()(2)(3)X v v v v φφφφ=（4）1232410X X X X =+++10123()(2)()(4)jv X v e v v v φφφφ=29. 随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。

（1）2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++；（2）()0.30.7jvjvv eeφ-=+； （3）()4/(4)v jv φ=-；（4）()(sin 5)/(5)v v v φ=；解：（1）1()ikj v x i i v p eφ==∑()()1ki i i f x p x x δ==-∑2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X jφ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()()222222(0)20.340.220.240.1 6.8E Xj φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()22 6.80.36 6.44Var X E X E X =-=-=（2）()11()0.30.7jv jv v eeφ⋅⋅-=+()()()0.310.71f x x x δδ=-++()()(0)/10.310.70.4E X j φ'==⨯+-⨯=-()()()2222(0)10.310.71E Xj φ''=-=⨯+-⨯=()()()2210.160.84Var X E X E X =-=-=（3）()4/(4)v jv φ=-()4/(4)v jv φ-=+利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，()44()xf x e u x -=()4/(4)v jv φ=-()()(0)k k k E X j φ⎡⎤=-⎣⎦()21(0)/4(4)4v E X j jv φ-='==-= ()231(0)8(4)8v E Xjv φ-=''=-=-= ()()22111()81616Var X E X E X =-=-=。

（4）()()sin /2()2/2x t p t sa τωτωτττωτ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭sin 51sin10/2()10()51010/2v v v v v v φφ⎡⎤==⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦ ，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布，()1,55100,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他()0E X =, ()21025123Var X ==,()()()22253E X Var X E X =+=。