第10章状态空间实现
CAn1
AB L
Qo AQc QoTAT 1Qc
AB L An1B
An1B
A TAT 1
即 A T 1AT
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
四、最小实现的维数
严真 G(s) hisi hi 为马尔柯夫参数矩阵
域寻找一个外部等价地内部假想结构，内部假想结构 对真实系统的可否完全表征性依赖于系统的是否能控 和能观测。 （6）实现的形式
G(s)为严真，其实现为（A,B,C)，E=0 G(s)为真，其实现为（A,B,C,E)，E limG(s)
s
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
M
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
H (t) H (1) (t) L
L(t)
H (1) (t)
M
H (2) (t) O
H
( n 1)
(t
)
H (n) (t)
L
H (n1) (t)
H (n) (t)
☝ 10.3 基于有理分式矩阵描述的典型实现
G(s)qp gij (s)
假定为严真
其最小公分母 d (s) sl l1sl1 L 1s 0
G(s)
P(s) d (s)
d
1 (s)
Pl 1s l 1
L
P1s P0
P(s)为多项式矩阵
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
一、实现的意义
1.物理意义
u
y
物理系统
u x& f (x,u) y y g(x,u)
把外部描述的系统，用表征系统内部结构特性 的内部描述等价。
2.数学意义
给定线性定常系统，传递函数矩阵G(s) ，如果
可以找到一个状态空间描述
x& Ax Bu
y
1. 能控规范形
0
Ac
M 0
0
1 O
1 L
1
n1
0
ห้องสมุดไป่ตู้
bc
M 0
1
cc 0 1 L n1
（1） 能控规范形实现的惟一性 （2） 实现维数的非最小性
若d(s)和n(s)非互质，则实现为能控不能观测。
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
2
0 1 0
能控规范形 Ac
0
0
1
2 4 3
0 0 2
能观测规范形 Ao 1 0 4
0 1 3
0 bc 0
1
4 bo 2
0
cc 4 2 0 co 0 0 1
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
2. 能观测规范形
0 L
Ao
1
O
0 0
1
M
1
n1
0
bo
1
M
n
1
co 0 L 0 1
（1） 能观测规范形实现的惟一性 （2） 实现维数的非最小性
若d(s)和n(s)非互质，则实现为能观测不能控。
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
二、能控类实现和能观测类实现 1.能控类实现 (A, B,C, E) 为 G(s)的一个能控类实现，满足： ① C(sI A)1 B E G(s) ② (A,B)能控且有指定形式。 2.能观测类实现 (A, B,C, E) 为 G(s)的一个能观测类实现，满足： ① C(sI A)1 B E G(s) ② (A,C)能观测且有指定形式。
维数n表征。 （2）实现的不惟一性 实现的结果不惟一，维数也不惟一。 （3）最小实现 维数最小，结构最简，能控能观测实现。 （4）代数等价关系 最小实现之间存在代数等价关系
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
（5）实现的物理本质 对具有“黑箱”形式的真实系统，在状态空间领
例：
G(s)
s
1
2
(s
1 3)(s
2)
(s
1 3)(s
2)
s
3
1
(s
1 3)(s
2)
1
0s 3
1
1 d (s)
P1s
P0
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.3 基于有理分式矩阵描述的典型实现
0
O
M
r (s)
r (s) 0
L 0 0
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
g(s)
n(s) d (s)
sn
sn1 n1
L
sn1 n1
L
1s 0 1s 0
O
n
1
b 1 M 1
c f1 f2 L fn
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
4. 串联形实现
u
g1 ( s )
g2 (s)
L
y gn (s)
例：
gi (s)
s3
2s 4 3s2 4s
由上述结论证明知 QoQc QoQc
Qc (QToQo )1(QToQo )Qc (QToQo )1QToQoQc TQc
令 T (QToQo )1QToQo
Qo Qo (QcQcT )(QcQcT )1 QoQcQcT (QcQcT )1 QoT
令 T QcQcT (QcQcT )1
惟一性，即存在非奇异常阵 T ，使成立：
A T 1AT B T 1B C CT
证明：由(A, B,C) 和 ( A, B,C)为最小实现，有
rankQc rankQo rankQc rankQo n
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
充分性：已知(A,B)能控且(A,C)能观测，欲证(A,B,C)为最小实现 采用反证法，反设(A,B,C)不是最小实现，则G(s)必存
在另一最小实现 ( A, B,C)
n dim( A) dim( A) n
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
3. 并联形实现
n
y(s) g(s)u(s) gi (s)u(s)
u
i 1
gi (s)
s
fi
i
g1 ( s ) g2 (s)
y M
gn (s)
1
A
2
☝ 第10章 传递函数矩阵的状态空间实现
10.1 实现的基本概念和基本属性 ☑ 实现的定义和属性 ☑ 能控类实现和能观测类实现 ☑ 最小实现 ☑ 实现的最小维数
10.2 标量传递函数的典型实现 ☑ 能控规范形实现 ☑ 能观测规范形实现 ☑ 并联形实现 ☑ 串联形实现
10.3 基于有理分式矩阵描述的典型实现：能控形实现和能 观测形实现
M
H
(
2n2)
(t
)
CB CAB L
L(0)
CAB
CA2 B
M
O
CAn1B CAn B L
CAn1B
CAn B
M
CA2
n
2
B
C
CA M
B
AB
L
CAn1
An1B QoQc
L (0) QoQc QoQc QoQc
采用反证法，反设(A,B,C)不是联合能控能观测的，则 可通过结构分解找出其能控和能观测部分 (A%11, B%1,C%1) ，且 成立 C%1(sI A%11)1B%1 C(sI A)1B G(s)
dim(A) dim(A%11) 与已知(A,B,C)为最小实现矛盾 反设不成立，必要性得证。
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 本章主要内容
10.4 基于矩阵分式描述的典型实现：控制器形实现和 观测器形实现
☑ 右MFD的控制器形实现 ☑ 控制器形实现的性质 ☑ 左MFD的观测器形实现 ☑ 观测器形实现的性质 10.6 不可简约矩阵分式描述的最小实现
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
C C
